Ступень 11 | Математическое изучение математики. Неполнота

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Ступень 11. Математическое изучение математики. Неполнота

11.1. Аксиомы теории множеств
11.2. Исчисление отношений
11.2.1. Теорема Гёделя о полноте исчисления отношений
11.3. Теоремы математики

Замечательным достижением математики конца XIX — начала XX вв. было точное математическое определение того, что такое математическая теорема. Это определение состоит в том, что теоремами считается все, что получается по некоторым простым правилам одной аксиоматической системы — теории множеств. Для нас важно иметь представление об используемой в теории множеств системе аксиом и правил
получения теорем — правилах вывода.

Удивительный факт состоит в том, что теория множеств (основание всей математики) может быть сформулирована на паре страниц текста. Можно видеть здесь аналогию с тем, что Вселенная образована из атомов (или элементарных частиц) небольшого количества видов, которые могут быть описаны Таблицей Менделеева, или Стандартной моделью физики элементарных частиц. Также это представляется связанным
с тем, что Вселенная — все, что мы можем наблюдать, описывается нами с помощью просто формулируемых законов физики, и того, что мы описали, хватает для описания рационального мышления Человека, всей Технологии, предсказания явлений Природы и т. д.

Определение 105. Пусть задан универсум , множество отношений на и объектов из .

Возьмем в произвольное конечное подмножество. Дадим его элементам имена. Напишем любую формулу логики отношений. Ее значение — некоторое отношение на .

Мы говорим, что отношение определимо через .

Определение 106. Замыкание — все, что определимо через . Замкнутое множество — совпадающее со своим замыканием.
Замкнутые множества мы называем также пространствами определимости.

Определение 107. (напоминание) Частичный порядок — двухместное рефлексивное, транзитивное, антисимметричное отношение . Структура, состоящая из множества и заданного на нем частичного порядка, называется частично упорядоченным множеством (чум).

Задача 194. Запишите условия рефлексивности, транзитивности, антисимметричности отношения.

Конечно, рефлексивность и антисимметричность естественно объединить в одно условие (подумайте, как?).

Задача 195. Дайте определения точной верхней грани (твг, sup) и точной нижней грани (тнг, inf ) двух элементов чум.

Определение 109. Решетка — это частично упорядоченное множество, где у любых двух элементов есть точная верхняя и точная нижняя грани.

Задача 196. Докажите, что следующие структуры являются решетками:

1. Множество всех подмножеств данного множества, упорядоченное по включению; что будет твг и тнг?
2. Всякое линейно упорядоченное множество; что будет твг и тнг?
3. Множество всех подпространств векторного пространства, упорядоченных по включению, что будет твг и тнг?
4. Множество положительных целых чисел, упорядоченных по делимости; что будет твг и тнг?
5. Множество подгрупп данной группы; что будет твг и тнг?
6. Множество подпространств данного пространства определимости, упорядоченных по включению; что будет твг и тнг?

Последняя из решеток — образованная пространствами определимости, является предметом изучения теории определимости и называется решеткой определимости.

Определение 110. Пусть задан универсум . Перестановкой универсума называется любое взаимно однозначное
отображение на себя.

Заметим, что всякая перестановка универсума задает также перестановку всех контекстов над : перестановка контекста действует как на каждом компоненте контекста.

Группа всех перестановок множества обозначается .

Следующее понятие нам уже встречалось.

Определение 111. Пусть на задано множество отношений .

Перестановка , сохраняющая отношения из , называется автоморфизмом . Все автоморфизмы образуют группу, называемую группой автоморфизмов этого множества отношений — .

Задача 197. Если перестановка универсума сохраняет множество отношений, то она сохраняет все отношения, определимые через это множество.

Определение 112. Пусть в группе перестановок множества задана подгруппа и выполнено следующее свойство. Для любой перестановки множества из того, что для любого конечного подмножества в найдется перестановка , совпадающая с на , вытекает .

Тогда называется замкнутой.

(Обратите внимание, что здесь слово «замкнутый» имеет иной смысл, чем выше, при определении пространства. В данном случае, это слово связано с топологией, попробуйте проследить связь с теоремой компактности для топологических пространств.)

Задача 198. Докажите, что группа автоморфизмов любого множества отношений — замкнута.

Определение 113. Пусть дано произвольное множество перестановок . Отношение называется инвариантом этого множества, если оно сохраняется под действием любого элемента из .

Задача 199. Пусть для множеств перестановок , выполнено . Что можно сказать о соответствующих множествах инвариантов?

Задача 200. Пусть для множеств отношений , выполнено . Что можно сказать о соответствующих группах автоморфизмов?

Аналогично понятию подгруппы, можно определить понятие надгруппы.

Определение 114. Пусть дана произвольная группа перестановок некоторого множества. Группа перестановок того же множества называется надгруппой , если она содержит .

Задача 201. Пусть задано пространство определимости . Тогда сле дующие два отображения образуют соответствие Галуа:

• отображение, ставящее в соответствие каждому подпространству в его группу автоморфизмов и

• отображение, ставящее в соответствие каждой замкнутой надгруппе группы пространство инвариантов этой надгруппы .

Итак, со всякой структурой связано ее пространство определимости — это все отношения, определимые через отношения и объекты, являющиеся значениями элементов сигнатуры. Соответственно определяется решетка определимости данной структуры.

Возьмем в качестве универсума рациональные числа, а в качестве пространства отношений — все отношения, определимые через порядок рациональных чисел.

Задача 202. Какова группа автоморфизмов порядка рациональных чисел? Будет ли любой автоморфизм непрерывным?

Задача 203. Можно ли через отношение порядка на рациональных числах определить отношение «быть числом »?

Содержательно понимаемое отношение «между» определимо через отношение порядка в любом линейно упорядоченном и даже — частично упорядоченном множестве.

Задача 204. Напишите формулу, определяющую отношение : «между» и через отношение порядка.

Задача 205. Определимо ли отношение порядка на рациональных числах через отношение «между»?

Задача 206. Определимо ли отношение следования на целых числах через отношение прибавления двойки?

Из этих простых примеров можно сделать следующие простые выводы:

• доказать определимость одного отношения через другое (или другие) можно, предъявив требуемую логическую формулу; доказать неопределимость — сложнее;

• доказать неопределимость отношения можно, найдя автоморфизм пространства определимости, не сохраняющий это отношение.

Можно было бы надеяться, что не определимость какого-то отношения через другие ВСЕГДА можно доказать, подобрав подходящий автоморфизм. Однако простые примеры подсказывают, что это не так: бывает, например, что автоморфизмов нет вовсе (кроме тривиального), а определимость через какое-то множество отношений удается описать, и ясно, что данное отношение этому описанию не соответствует, но с помощью автоморфизмов этого не докажешь.

Однако все не так плохо. Мы не зря занимались базовыми понятиями теории моделей. Можно воспользоваться следующими обстоятельствами:

• если две структуры эквивалентны (в частности, если одна есть элементарное расширение другой), то определимость в одной из них влечет определимость в другой.

• группы автоморфизмов эквивалентных структур могут различаться.

Задача 207. Определимо ли отношение следования на натуральных числах: через отношение соседства: «расстояние между числами равно единице»?

Возникает надежда на доказательство неопределимости путем подбора расширения исходной структуры и некоторого автоморфизма этого расширения. Оказывается, что этой надежде суждено сбыться, как
показал Ларс Свенониус в 1959 году. Доказательство этой важной теоремы мы не будем обсуждать на лекциях, оно не входит в экзаменационный материал. Но оно имеется в конспекте курса (размещенном
в интернете, там это — следующая лекция) и его можно обсуждать с преподавателями.

Теорема Свенониуса
Пусть — счётная структура, , . Следующие два условия эквивалентны:
(i) не определимо в ,
(ii) существует счётное элементарное расширение структуры и автоморфизм структуры , не сохраняющий .

Теорема Свенониуса говорит, что при доказательстве не определимости для разных отношений могут потребоваться разные расширения. Ситуация существенно упрощается, если среди таких расширений есть
наибольшее.

Определение 115. Структура называется полной вверх, если у нее нет элементарных расширений (то есть всякое ее элементарное расширение ей изоморфно).

Определение 116. Пополнение вверх структуры — это полное вверх ее расширение.

Определение 117. Антиизоморфизмом решеток называется взаимнооднозначное соответствие между их универсумами, при котором отношение переходит в .

Задача 208. Докажите, что для всякой полной вверх структуры ее решетка определимости антиизоморфна некоторой решетке замкнутых надгрупп группы автоморфизмов ее пополнения вверх.

Из утверждения последней задачи легко следует аналогичное утверждение для пополнимых вверх структур.

Задача 209. Д
Построить решетки определимости для структур:
• ,
• .

Задача 210. (Открытые проблемы)
Построить решетки определимости для структур:
• ,
• Множество пар целых чисел с операциями добавления к каждой из компонент,
• .

10.1. Дополнительный материал. Доказательство теоремы Свенониуса

В доказательстве теоремы Свенониуса, к которому мы приступаем, будет использована одна из больших идей нашего курса, математической логики и математики — построение расширяющейся последовательности объектов, в которой все имеющее место в бесконечности случилось в какой-то конечный момент. Будет использована теорема компактности, конечно. Мы начнем с установлением некоторого вспомогательного факта, тоже связанного с именем Альфреда Тарского.

Задача 211. Лемма Тарского о транзитивности элементарных расширений
Пусть дана конечная или счётная последовательность структур, где каждая последующая является элементарным расширением предыдущей. Тогда объединение этих структур будет элементарным расширением каждой из них.

Итак, будем доказывать утверждение индукцией по построению формулы из определения элементарного расширения. Обратим внимание, что там речь идет о любой формуле, эта формула становится «высказыванием», когда мы подставляем в нее имена элементов универсумов.

Для конечных цепочек расширений утверждение очевидно вытекает из определения элементарного расширения: мы находим нужный вектор элементов в предпоследней структуре и т. д.

Рассмотрим бесконечный случай. Для атомных формул утверждение очевидно в силу стандартного аргумента: всякий элемент бесконечного объединения появился на каком-то конечном шаге и т. д. Шаг для дизъюнкции и отрицания — тоже очевиден.

Остается случай существования: формула , причем для формулы требуемая эквивалентность доказана.

Пусть в качестве значения для переменных выбран вектор в расширении конечного шага. Обозначим через итоговое расширение. Элемент для которого в выполнено , также когда-то появился. Возьмем максимум из шагов для элементов и . На этом шаге была построена некоторая структура. В ней выполнено . Значит, можно взять и в любой из построенных структур и выполнено в этой структуре.

Лемма доказана.

Задача 212. Лемма об определимости кусочно постоянного одноместного отношения.
Пусть на некотором множестве задано конечное множество одноместных отношений и одноместное отношение . Будем считать два объекта эквивалентными, если значения всех отношений из на них совпадают. Пусть постоянно на любом классе эквивалентности. Тогда определимо через .

Очевидным следствием леммы является то же самое утверждение, где мы заменим объекты на -мерные векторы, а одноместные отношения — на -местные, при фиксированном . Это следствие получится, если в качестве универсума использовать -ую прямую степень универсума исходной структуры, тогда -местные отношения станут одноместными и т. д.

Именно в такой форме мы будем ее использовать.

Лемма об определимости кусочно постоянного отношения.
Пусть на некотором множестве задано конечное множество -местных отношений и -местное отношение при некотором . Будем считать два объекта эквивалентными, если значения всех отношений из на них совпадают. Пусть постоянно на любом классе эквивалентности. Тогда определимо через .

Задача 213. Теорема Свенониуса.
Пусть — счётная структура. Следующие два условия эквивалентны:
(i) не определимо в ,
(ii) существует счётное элементарное расширение структуры и автоморфизм , не сохраняющий .

Комментарий. Конечно, говоря об , мы подразумеваем, что для всех элементов сигнатуры заданы их значения, упоминая, например, определимость , мы имеем в виду именно это значение.

Заметим, что мы говорим об элементарном расширении структуры, использующей , а автоморфизм у нас, сохраняет , но не сохраняет
.

Теорема Свенониуса является, в некотором смысле «теоремой полноты» для теории определимости, она показывает, что метод автоморфизмов универсален. Расширяя структуру, добавляя в нее, как это делается в геометрии «идеальные элементы», мы получаем структуру, более богатую автоморфизмами, где неопределимое отношение — уже не инвариант.

Задача 214. Докажите, что:
• структура эквивалентна структуре тогда и только тогда, когда K ⊨ T h(M );
• структура является элементарным расширением структуры тогда и только тогда, когда в выполнена , где значения имен в те же, что в .

Вот еще соображения, используемые в доказательстве:

• Объектами построения у нас будут одновременно расширение исходной структуры и «автоморфизм», не сохраняющий . Автоморфизм по ходу построения будет «конечным», то есть преобразованием (взаимно однозначным соответствием на себя) конечного подмножества какого-то из расширяющейся последовательности универсумов. Кавычки будем опускать.

• Для доказательства элементарной эквивалентности мы будем использовать теории двух структур: и для некоторых .

• Требование не инвариантности того отношения, неопределимость которого мы хотим установить, включим в теорию, просто потребовав не сохранения отношения на конкретном наборе объектов; для этих объектов и их образов при автоморфизме заготовим имена.

В наших построениях будут участвовать структура и последовательность структур с сигнатурой . Мы будем использовать верхний знак минуса в обозначении структуры, чтобы указать, что из сигнатуры мы выбросили , оставили только . (Конечные) автоморфизмы будут всегда именно таких структур.

Далее — количество аргументов отношения , неопределимость которого мы хотим доказать.

Определим теорию .
Сигнатуру образуем добавлением к сигнатуре структуры имен, образующих две цепочки и .

Далее:
• Мы будем использовать теорию для построения расширений исходной структуры, для этого поместим в нее .

• Теория будет утверждать, что переход от объектов с новыми именами к объектам с новыми именами не сохраняет отношение , то есть

• Теория будет утверждать, что замена на в любой формуле в сигнатуре с свободными переменными сохраняет значение формулы, то есть .

Конечно, нам нужно, чтобы построенная в конце концов теория была выполнимой, как и теории, возникающие по ходу дела. Естественно, для этого мы обычно будем использовать теорему компактности.

Задача 215. Теория выполнима, если не определимо.

Обозначим через какую-нибудь счётную модель теории .

Задача 216. Докажите, что отношение , сопоставляющее в универсуме структуры с каждым значением значение , является взаимно однозначным соответствием между конечными подмножествами универсума , образованными значениями и .

Определение 118. Конечный автоморфизм — взаимно однозначное отображение, определенное на конечном подмножестве универсума структуры, сохраняющее значения отношений структуры.

Таким образом, мы построили структуру и взаимно однозначное соответствие , обладающие свойствами:
• — расширение исходной структуры, в сигнатуру которого добавлены какие-то имена объектов;
• переход от значений набора к набору значений не меняет значения формул, не содержащих ; — конечный автоморфизм ;
• переход от значений набора к набору значений меняет значение .
Другими словами, мы построили требуемый автоморфизм, но действующий только на одном наборе объектов.

Как действовать дальше?

Попробуем построить последовательность структур и конечных автоморфизмов: , , для которой:
• — расширение структуры , в сигнатуру которого добавлены какие-то имена объектов;
• — продолжение отображения .

При этом мы должны позаботиться о том, что:
• объединение всех окажется расширением структуры , если оставить в сигнатуре объединения только элементы сигнатуры ;
• объединение всех окажется автоморфизмом (уже настоящим) объединенной структуры.

Начнем с обеспечения того, чтобы объединение всех конечных автоморфизмов было взаимно однозначным отображением на всем «итоговом» универсуме.

Для этого заранее заготовим счётную последовательность счётных последовательностей имен. На очередном шаге построения нам могут понадобиться новые имена. Будем их брать из очередной последовательности.

Также пронумеруем элементы универсумов так, чтобы нумерация следующего универсума продолжала нумерацию предыдущего (подумайте, как это сделать, например, нумеруя пары).

Пусть у нас уже есть структура и частичный автоморфизм структуры . При переходе к мы поочередно (например, для четных и нечетных ) будем брать элементы универсума, которые не вошли в область определения и в область значений . Рассмотрим случай области определения.

Выберем первый объект, который не попал в область определения , дадим ему какое-то еще не использованное имя — . Возьмем еще какое-то не использованное имя — это .

Перейдем к построению структуры . Начнем с построения теории :
• Включим в эту теорию .
• Пусть область определения состоит из m объектов, образующих вектор ; для каждой формулы в сигнатуре от переменной включим формулу, означающую, что значение формулы на — то же, что значение формулы для .

Самое время выяснить, есть ли у теории модель.

Задача 217. Теория выполнима.

Итак, у теории есть модель. Эта модель и есть наша . Вернемся к конечным автоморфизмам.

Добавим к пару, состоящую из значений двух имен: в . Это и будет .

Задача 218. Докажите, что отображение взаимно однозначно, исходя из того, что взаимно однозначно.

Вспомним, что, переходя от к , мы рассмотрели случай расширения области определения конечного автоморфизма. Но мы упоминали, что будем чередовать шаги расширения области определения с расширением множества значений.

Задача 219. Проведите построение и в случае, когда мы добавляем элемент к образу .

Следующий шаг, как можно ожидать, это объединение всех . В качестве берем объединение последовательностей универсумов, в качестве значений элементов сигнатуры берем объединение значений:

Перейдем к автоморфизмам.

Задача 220. Объединение всех является автоморфизмом структуры .

Итак, мы доказали теорему Свенониуса. Повторим ее формулировку.

Теорема Свенониуса. Пусть — счётная структура. Следующие два условия эквивалентны:
(i) не определимо в ,
(ii) существует счётное элементарное расширение структуры и автоморфизм , не сохраняющий .

Таким образом, метод автоморфизмов универсален. Добавляя в структуру «идеальные элементы», мы можем найти автоморфизм структуры, для которого неопределимое отношение — не инвариант.

Задача 221. Теорема Бета Пусть — счётная структура. Следующие два условия эквивалентны:
(i) не определимо в ,
(ii) существует такое счётное элементарное расширение и два разных отношения и на , что и , и являются элементарными расширениями .