Замечательным достижением математики конца XIX — начала XX вв. было точное математическое определение того, что такое математическая теорема. Это определение состоит в том, что теоремами считается все, что получается по некоторым простым правилам одной аксиоматической системы — теории множеств. Для нас важно иметь представление об используемой в теории множеств системе аксиом и правил
получения теорем — правилах вывода.

Удивительный факт состоит в том, что теория множеств (основание всей математики) может быть сформулирована на паре страниц текста. Можно видеть здесь аналогию с тем, что Вселенная образована из атомов (или элементарных частиц) небольшого количества видов, которые могут быть описаны Таблицей Менделеева, или Стандартной моделью физики элементарных частиц. Также это представляется связанным
с тем, что Вселенная — все, что мы можем наблюдать, описывается нами с помощью просто формулируемых законов физики, и того, что мы описали, хватает для описания рационального мышления Человека, всей Технологии, предсказания явлений Природы и т. д.

11.1. Аксиомы теории множеств

Сейчас мы перечислим аксиомы теории множеств и укажем варианты их традиционных названий. Иногда это название может помочь понять содержательный смысл аксиомы. Полезно разобраться, в чем этот смысл состоит, но знать сами формулировки для экзамена не нужно. Аксиомы приведены, чтобы вы получили общее впечатление от их небольшой сложности, как по общему объему, так и по смыслу.

В языке теории множеств есть два имени двухместных отношений — принадлежность и равенство. Имена объектов и других отношений вводятся по ходу дела, «как сокращения». Поскольку в языке есть символ равенства, в списке аксиом обязательно должны быть аксиомы равенства. Посмотрим, какие ещё есть
аксиомы в теории множеств. Основные аксиомы утверждают существование некоторых множеств, в том числе и множеств, «получаемых» из других. Если эти другие множества существуют, то существует и получаемое.

Отметим, что следование в противоположную сторону получается из аксиом равенства. Аксиома объёмности говорит нам о смысле понятия множества: для равенства множеств достаточно, чтобы они содержали одни и те же элементы. Это выполнено не для всех математических конструкций: например, легко придумать два разных многочлена, имеющих одни и те же корни.

Нам хотелось бы постулировать существование хотя бы одного множества. Сформулируем аксиому, утверждающую существование самого важного множества.

В частности, из аксиомы пары можно получить, что для каждого множества существует «синглетон» . Для этого надо применить аксиому пары к двум одинаковым множествам.

Упорядоченная пара (по К. Куратовскому) определяется так: . Теперь мы можем доказать, что упорядоченная пара существует — надо применить 3 раза аксиому пары.

Из аксиомы объединения и аксиомы пары следует существование объединения двух множеств: . Кроме того, из этих аксиом следует возможность образования любых конечных множеств из имеющегося материала. А именно, если имеется любой конечный набор множеств , то существует множество .

Мы определим сейчас не одну аксиому, а целое семейство аксиом с помощью схемы аксиом, в которой формула участвует как параметр.

В этой аксиоме говорится, что формула выделяет в множестве некоторое подмножество .

Как и в других случаях, полную форму аксиомы можно получить, считая, что в есть еще и свободные переменные и по этим переменным добавить в начале кванторы (с учетом ограничения на не вхождения переменных , , в цепочку переменных, аналогично аксиоме 6).

Если бы эта аксиома нарушалась для какого-то множества, то можно было бы построить бесконечную цепочку, где каждый следующий элемент цепочки был бы элементом предыдущего. Потребности в таких множествах не ощущается и решили их запретить; в некоторых ситуациях этот запрет полезен. В частности, из аксиомы регулярности следует, что не существует множества , для которого . Также не существует множеств и , для которых и и т. д.

11.2. Исчисление отношений

В дополнении к аксиомам, отражающих представление математиков о множествах, в теорию множеств также нужно включить некоторые аксиомы и правила рассуждения (вывода), выполняющиеся для любых структур. Эти аксиомы и правила образуют исчисление отношений.

Обсуждая модальную логику, мы уже имели дело с примером исчисления (см. исчисление ). Общее понятие исчисления мы рассмотрим на наших ближайших лекциях.

В качестве одного из следствий теоремы компактности, мы упомянули перечислимость всех истинных формул логики отношений. Перечислимость является и следствием явного задания исчисления для логики отношений.

Аксиомы исчисления отношений

У нас будет три группы аксиом (схем аксиом). Вот первая группа.

• Подстановки формул логики отношения в истинные формулы логики высказываний (тавтологии).

Например, — тавтология. Подставим вместо какую-нибудь формулу, например, так: . Получим аксиому.

Пока что мы ничего не сказали про использование кванторов. Давайте введем аксиомы, которые нам об этом скажут. Следующие аксиомы выглядят естественными:

• формулы вида ,

• формулы вида , где — формула, — переменная или имя объекта, — результат подстановки вместо всех в .

К сожалению, аксиомы, записанные с такими условиями на переменные и имена, могут дать странные результаты. Например, пусть формула имеет вид , а терм является константой . Тогда подстановка c вместо даст абсурдное выражение, вообще не являющееся формулой: . Конечно, по смыслу ясно, что в результате подстановки мы хотели получить такую формулу: . То есть подставлять терм надо вместо не всех вхождений переменной , а лишь вместо свободных вхождений — тех, которые не находятся в области действия квантора. Конечно, мы так и поступали в предшествующих рассмотрениях, например, при обсуждении полных теорий и т. д.

Однако оговорки «подставляем только вместо свободных вхождений» недостаточно. Дело в том, что если терм является переменной, то эта переменная может оказаться в области действия квантора по той же переменной — и тогда смысл формулы исказится. Например, пусть формула имеет вид . Переменная в неё входит свободно, подставим вместо неё переменную и получим — формулу, имеющую вообще другой смысл. Поэтому нужно предпринять ещё одну меру предосторожности.

Теперь можем уже точно сформулировать вторую и третью группы аксиом исчисления отношений:

• формулы вида ,
• формулы вида ,

где — формула, — переменная или имя объекта, — результат корректной подстановки вместо всех свободных вхождений в .

Правила вывода исчисления отношений (из над-чертой выводится под-чертой):

• — modus ponens,

• — первое правило Бернайса,

• — второе правило Бернайса,

где , — формулы, переменная не имеет свободных вхождений в во втором и третьем правиле. Как и в модальной логике, в исчислении отношений определяется понятие вывода, вывода из гипотез и выводимой формулы. Определения здесь те же самые, только список аксиом и правил вывода другой. Приведём примеры выводов.

Выведем формулу (можно переименовывать переменную под квантором):

1. (аксиома),

2. (BR1 к 1).

Выведем формулу из гипотез , :

1. (гипотеза),

2. (гипотеза),

3. (аксиома) (где — новая переменная),

4. (mp к 1, 3),

5. (аксиома),

6. (аксиома — тавтология),

7. (mp к 4, 6),

8. (mp к 5, 7),

9. (BR2 к 8),

10. (mp к 2, 9).

11.2.1. Теорема Гёделя о полноте исчисления отношений

Замечательный (и трудный!) результат состоит в том, что формулы, выводимые в исчислении отношений — это все законы логики, которыми мы пользуемся в математике. Доказывать его мы не будем. Точная формулировка такова.

• Задача 230. Теорема о полноте исчисления отношений

Если формула логики отношений истинна в любой структуре и в любом контексте, то эта формула выводима в исчислении отношений.

Высказывание следует из теории ттитк выводимо из теории .

Теорема о полноте имеет фундаментальное значение, поскольку устанавливает однозначную связь между логической истинностью высказывания и его выводимостью в логике отношений.

Кроме того, ее непосредственными следствиями являются следующие два важных утверждения: теорема компактности (6.3) и теорема о перечислимости следствий (135).

11.3. Теоремы математики

Сегодня большинство математиков согласны с тем, что используемые ими определения потенциально могут быть сформулированы, а теоремы доказаны в теории множеств с аксиомой выбора.

При этом, с одной стороны, такие формулировки и доказательства могут стать «необозримыми» для человека.

С другой стороны, в некоторых исследованиях математики используют дополнительные аксиомы, например принимают в качестве аксиомы
Континуум-гипотезу: Любое бесконечное множество действительных чисел или равномощно со всем множеством действительных чисел или счётно.

Как мы уже упоминали при обсуждении Аксиомы выбора, интересные математические рассмотрения и результаты возможны и если мы согласимся с ее отрицанием.

С третьей стороны, некоторые математики пытается иначе построить основания математики.

Несколько подробнее затронутые темы обсуждаются в конце следующей главы.