Ступень 8 | Структуры и теории. Элементарные расширения

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Ступень 8. Структуры и теории. Элементарные расширения

8.1 Соответствие Галуа между множествами структур и теориями
8.2 Элементарные расширения
8.3 Теорема Лёвенгейма – Сколема о подструктуре
8.4 Дополнительный материал:
Ультрафильтры и ультрапроизведения.
Доказательство теоремы Мальцева
8.4.1 Предварительные определения
8.4.2 Ультрапроизведения и ультрастепени семейств структур
8.5 Теорема Лёвенгейма – Сколема о расширении

8.1. Соответствие Галуа между множествами структур и теориями

Зафиксируем некоторую сигнатуру и будем рассматривать структуры и теории с этой сигнатурой. Основным отношением, с которым мы продолжаем работать, является отношение истинности формулы Φ в структуре M; обозначение M ⊨ Φ.

Определение 88. Пусть M — структура.
Тогда Th(M) — теория структуры M — множество высказываний, выполненных в структуре M.
Теория Th(m) множества структур m состоит из высказываний, выполненных в каждой структуре множества.
Пусть ϕ — теория (произвольное множество высказываний).
Тогда Mod(ϕ) — класс всех моделей теории ϕ.

Таким образом, у нас есть два отображения: Th(m) — из множеств структур в теории и Mod(ϕ) — из теорий в множества структур.

Замечание. В соответствии с естественной математической традицией элементы структур, объекты естественно обозначать малыми (строчными) латинскими буквами, а сами структуры — большими (прописными). Также большими, греческими, буквами мы обозначаем формулы. Для множеств структур и множеств формул было бы естественно использовать «еще бóльшие» буквы. Их, однако, алфавиты не предоставляют. Мы принимаем, поэтому парадоксальное, противоположное решение, начинаем обозначать множества структур малыми латинскими, а множества высказываний — теории, малыми греческими буквами.
Надеемся, что результатом этого замечания станет некоторая первоначальная внимательность читателя, которая убережет его от недоразумений и чрезмерных напряжений.

Задача 146. Докажите, что

Отображения Th, Mod — (нестрого) монотонно убывающие (другими словами — антимонотонные).
m ⊆ Mod(ϕ) ⇐⇒ ϕ ⊆ Th(m);
ϕ ⊆ Th(Mod(ϕ));
m ⊆ Mod(Th(m)).

Определение 89. Пусть заданы два произвольных частично упорядоченных множества, элементы первого обозначим ϕ, второго — m, а оба отношения нестрого порядка обозначим одним и тем же символом ⊆.
О паре отображений ⟨Th,Mod⟩, для которых выполнено утверждение последней задачи, говорят, что они образуют соответствие Галуа (антимонотонное) между этими множествами.

8.2. Элементарные расширения

Определение 90. (Напоминание.) Структуры (элементарно) эквивалентны, если их теории совпадают.

Задача 147. Докажите, что структура M′ эквивалентна структуре M тогда и только тогда, когда M′ ⊨ Th(M);

Определение 91. Подструктура структуры:

сигнатура у подструктуры та же, что и у структуры;
универсум подструктуры — подмножество (под-универсум) универсума структуры;
значения принадлежащих сигнатуре имен объектов лежат в под-универсуме и одинаковы для структуры и подструктуры;
значения имен отношений совпадают на под-универсуме; то есть если брать объекты только из под-универсума, то на наборах этих объектов совпадают значения двух отношений, являющихся значениями одного и того же имени из сигнатуры.

Определение 92. Для всякой структуры M обозначим через M^@ структуру, сигнатура которой получается из исходной сигнатуры добавлением имен для всех элементов носителя M, которые не имели имен в исходной сигнатуре. Структуру M^@ можно называть именованием M.

Таким образом, в случае M = ⟨Q, {<}⟩, теория Th(M^@), кроме Th(M), будет содержать всевозможные высказывания вида 0 < 1; 0.5 < 0.75; . . . ; ∃x(0 < x ∧ x < 0.00001) и так далее.

Определение 93. Пусть M₁ — подструктура структуры M. M — называется элементарным расширением M₁ если:

M₁ — подструктура M;
значения в обеих структурах любой формулы Φ совпадают на элементах подструктуры; то есть, если x — список всех свободных переменных формулы Φ(x), то M ⊨ Φ(a) ⇐⇒ M₁ ⊨ Φ(a) для любого набора a элементов универсума структуры M₁. В этом случае также M₁ называется элементарной подструктурой M.

Задача 148. Докажите, что структура M является элементарным расширением структуры M₁ тогда и только тогда, когда M ⊨ Th(M₁^@).

Задача 149. Если структура M является элементарным расширением структуры M₁, то эти две структуры эквивалентны.

Задача 150. Критерий Тарского – Воота
Пусть M₁ = ⟨D₁,Σ, Зн₁⟩ — подструктура структуры M = ⟨D,Σ, Зн⟩.
Следующие два условия эквивалентны:
(1) M — элементарное расширение структуры M₁;
(2) для любой формулы Φ(x, y), где x — набор переменных и y — переменная, и для любого набора a элементов D₁:
M ⊨ Φ(a, b) для некоторого b ∈ D ⇒ M ⊨ Φ(a, b) для некоторого b ∈ D₁.

(1)⇒ (2)
Пусть M ⊨ Φ(a, b) для a ∈ D^∗₁ и некоторого b ∈ D.
Тогда M ⊨ ∃yΦ(a, y)
Поскольку M — элементарное расширение M₁, имеем
M₁ ⊨ ∃yΦ(a, y)
Значит, для некоторого b ∈ D₁
M₁ ⊨ Φ(a, b)
Остается опять воспользоваться элементарной эквивалентностью M и M₁, чтобы получить нужное заключение:
M ⊨ Φ(a, b) для b ∈ D₁.

(2)⇒ (1)
Заменим в утверждении (2) импликацию на эквивалентность (обратная импликация тривиальна).
Будем доказывать утверждение (1) индукцией по построению формулы Φ(x) из определения элементарной подструктуры (расширения).
Для атомных формул это очевидно, поскольку M₁ — подструктура M.
Для индуктивного шага с использованием дизъюнкции и отрицания это также тривиально.
Остается случай квантора существования, то есть формулы вида ∃yΦ(x, y), где x — набор переменных, y — переменная.
В этом случае как раз утверждение (2) содержательно и дает нужный результат.
Именно, пусть выполнено индуктивное предположение
M ⊨ Φ(a, b) ⇐⇒ M₁ ⊨ Φ(a, b) для любого набора a, b ∈ D^∗₁
В силу (2) существование b ∈ D, для которого M ⊨ Φ(a, b), эквивалентно существованию b ∈ D₁, для которого M ⊨ Φ(a, b).
Отсюда получаем:
M ⊨ ∃yΦ(a, y) ⇐⇒ M1 ⊨ ∃yΦ(a, y) для любого набора a ∈ D^∗₁.

Задача 151. Рассмотрим две структуры (два упорядоченные множества): M₁ = ⟨Q, {<}⟩ и M₂= ⟨Q ∪ {α}, {<}⟩, где α —некоторое иррациональное число. Является ли M₂элементарным расширением M₁?

8.3. Теорема Лёвенгейма – Сколема о подструктуре.

Можем ли мы для конечной или счётной сигнатуры с помощью конечного или счётного числа высказываний описать структуру, которая обязательно будет несчётной? Оказывается — нет!

Задача 152. Теорема Лёвенгейма – Сколема об элементарной подструктуре
Любая бесконечная структура с конечной или счётной сигнатурой содержит счётную элементарную подструктуру.

Определение 94. Пусть дана конечная или счётная последовательность структур, где каждая структура является подструктурой следующей. Объединением этой последовательности является структура, у которой универсумом является объединение (неубывающей) последовательности универсумов членов последовательности; значение каждого имени объекта берется из первой структуры, а значением каждого имени отношения является объединение значений этого имени в элементах последовательности (в каждом элементе — это подмножество прямой степени соответствующего универсума, прямые степени тоже не убывают).

Перейдем к доказательству теоремы.

Опишем последовательность шагов в построении элементарной подструктуры.
На нулевом шаге отнесем к универсуму подструктуры все объекты, являющиеся значениями имен из сигнатуры. Это — просто требование для подструктур.
Дальше будем стараться выполнить требование (2) критерия Тарского – Воота. Именно, для каждой формулы Φ(x, y) (все формулы у нас в одной и той же исходной счётной сигнатуре) и каждого набора элементов a уже построенного универсума, для которого найдется b в (возможно, несчётном) универсуме исходной структуры, мы любое (одно!) найденное b добавим в строящийся универсум. Шаг завершается доопределением значений всех имен отношений из сигнатуры на новых элементах в соответствии с их значениями в исходной структуре.
Проделаем описанный выше шаг со всеми формулами счётное число раз.
Получим возрастающую последовательность универсумов (каждый раз мы что-то добавляли), возьмем объединение универсумов этой последовательности. Это объединение счётно. Сохраним на этом объединении значения всех элементов сигнатуры. Структура определена и, очевидно, счётна.
Остается доказать, что бесконечное объединение будет элементарной подструктурой первоначальной структуры.
Будем вести индукцию по построению формулы из определения элементарного расширения. Обратим внимание, что там речь идет о любой
формуле, эта формула становится «высказыванием», когда мы подставляем в нее элементы структур (точнее, как мы говорили выше, их имена).

Для атомных формул утверждение тривиально. Для дизъюнкции и отрицания индуктивный шаг тоже тривиален.
• Остается случай существования: формула ∃yΦ(x, y), причем для формулы Φ(x, y) требуемая эквивалентность доказана.
Обозначим через D универсум исходной структуры, через D₀ универсум структуры, с которой мы начали построение, через Dω — универсум бесконечного объединения.
Пусть a ∈ Dω и для некоторого b ∈ D выполнено Φ(a, b).
Элемент a оказался в Dω на каком-то конечном шаге. На каком-то следующем шаге была построена структура, в которой лежит и a, и некоторый c, для которого в M выполнено Φ(a, c). По индуктивному предположению требуемая эквивалентность была выполнена для этой структуры и исходной структуры. Значит она выполнена и для формулы с квантором.

Теорема доказана.

Заметим, что объединение возрастающей цепочки мы уже использовали несколько раз (где?). Эта большая идея нам еще пригодится.

8.4. Дополнительный материал:
Ультрафильтры и ультрапроизведения.
Доказательство теоремы Мальцева

Для счётного множества высказываний P₁, . . . , P_n, . . . теорему компактности можно сформулировать следующим образом:

Если существует такая последовательность структур M₁, . . . , M_n, . . . , что (i ⩽ j) ⇒ (M_j ⊨ P_i), то найдется такая структура M, что M ⊨ P_i для всех i.

Эта формулировка наводит на мысль, что искомая структура может быть получена конструкцией «предела» последовательности M₁,. . . , M_n, . . . , члены которой обеспечивают истинность отдельных высказываний из данного множества, или, что эквивалентно — конечных подмножеств высказываний.

Такая конструкция действительно существует и мы приступаем к ее обсуждению. В качестве бонуса мы получим доказательство теоремы компактности не только для счётного, но и для любого множества высказываний. Фактически в данном курсе мы будем использовать его для счётных сигнатур и счётных множеств высказываний.

8.4.1. Предварительные определения

Фиксируем некоторое множество S.

Определение 95. Непустое семейство F подмножеств S называется фильтром на S, если выполнены следующие условия:
(i) ∅ /∈
F
(ii)A ∈ F,B ∈ F → A ∩ B ∈ F
(iii) A ∈ F,A ⊂ B → B ∈ F

Множества, принадлежащие фильтру, иногда называют большими, а их дополнения — малыми.
Примеры фильтров:
1. Если a ∈ S, то семейство F = {s|s ⊂ S, a ∈ s} является фильтром (такие фильтры называются главными)
2. Если S бесконечно, то фильтром является семейство его коконечных (то есть, дополнений к конечным) подмножеств.
3. Для множества S через S^<ω обозначим множество всех конечных подмножеств S, и для любого a ∈ S^<ω обозначим T_a = {b ∈S^<ω|a ⊂ b}.
Покажите, что {A ⊂ S^<ω|T_a ⊂ A для некоторого a ∈ S^<ω} является фильтром на S^<ω.

Фильтр F является ультрафильтром на множестве S, если для всякого A ⊂ S выполнено A ∈ F или (S \ A) ∈ F.
На множестве фильтров имеется естественный (частичный) порядок: ⩽: F₁⩽ F₂ ⇐⇒ F₁ ⊂ F₂.
Фильтр F является максимальным, если (F ⊂ F₁) → F₁ = F.

Задача 154. Теорема 1. (Теорема о существовании ультрафильтра)
Из аксиомы выбора следует, что любой фильтр может быть расширен до ультрафильтра.

8.4.2. Ультрапроизведения и ультрастепени семейств структур

Вернемся к логике отношений. Пусть имеется семейство структур {M_s|s ∈ S} с одной и той же сигнатурой Σ, с универсумами {U_s|s ∈S} и ультрафильтр F на множестве S.

Определим новую структуру M_F — ультрапроизведение семейства {M_s|s ∈ S} по ультрафильтру F (обозначение Π^F_s∈S M_s). Сигнатурой этой структуры будет также Σ.

Универсумом (позже уточним) структуры будет декартово произведение U = Π_s∈SU^s универсумов структур нашего семейства. Как обычно это произведение состоит из всех отображений, сопоставляющих каждому s ∈ S какой-то элемент из Us.

Определим значения элементов сигнатуры.

Для каждого имени a ∈ Σ его значение — это отображение, значением которого на s ∈ S является значение a в U_s.

Пусть P(¯x) — символ отношения из Σ, ¯ f — набор его аргументов, ¯ fs — проекция этого набора на U_s, s ∈ S. Тогда значение P( ¯ f) в M_Fбудем считать истиной, если
{s|M_s ⊨ P( ¯ f_s)} ∈ F.

Сформулируем (и докажем) теорему, оправдывающую нашу конструкцию:

Теорема 2. Теорема Лося об ультрапроизведениях
Пусть Q(¯x) — формула в сигнатуре Σ; ¯ f — набор элементов U_F. Тогда выполнено
M_F ⊨ Q( ¯ f) ⇔ {s|M_s ⊨ Q( ¯ f_s)} ∈ F

Таким образом, наше определение значений атомных формул рапространяется на все формулы.

Задача 155. Докажите теорему Лося об ультрапроизведениях.

Задача 156.
1. Докажите, что ∼ — отношение эквивалентности.
2. Докажите, что определения корректны — значение отношения на
классах эквивалентности не зависит от выбранных элементов классов.

Теперь уже действительно можно завершить доказательство индукцией по построению формулы.
Для атомных формул, включая равенство, все выполнено. Для логических связок ∨, ¬ тривиально.
Рассмотрим подробнее случай квантора существования. Возьмем формулу (∃x)P( ¯ f, x), где ¯ f — набор элементов (отображений) нашего универсума U_F.

■
Для высказываний теорема Лося означает, что высказывание истинно в ультрапроизведении тогда и только тогда, когда оно истинно в большом множестве сомножителей.

Следствие теоремы Лося

Ультрапроизведение семейства моделей некоторой теории является моделью этой теории.

Задача 157.
Покажите, что ультрапроизведение по главному ультрафильтру совпадает с одним из сомножителей.

Задача 158.
Теорема компактности (Мальцева)
Если любое конечное подмножество теории выполнимо, то теория выполнима.

Задача 159.
Покажите, что если M′ — ультрастепень структуры M, то M изоморфна некоторой (обычно — собственной) элементарной подструктуре структуры M′.

Задача 160.
Если структуры, M, N элементарно эквивалентны, то M изоморфно элементарной подструктуре некоторой ультрастепени N^U.

Задача 161.
Если M и N структуры с одной и той сигнатурой, то следующие два условия равносильны
(i) M и N элементарно эквивалентны.
(ii) некоторые ультрастепени структур M и N изоморфны.

Комментарий: То, что (ii) ⇒ (i) легко следует из предыдущих задач. Доказательство (i) ⇒ (ii) весьма сложно и далеко выходит за рамки данного курса, поэтому эта задача не является даже дополнительной.

Теорема Кейслера,– Шелаха (равно как и предыдущая задача) показывают, что понятие элеметарной эквивалентности (одно из основных понятий теории моделей) может быть определено в терминах ультрафильтров, но такой подход привел бы к слишком громоздкому изложению.

Из определения следствия и теоремы компактности мы ранее легко получили утверждение следующей задачи, которое можно было бы назвать Теоремой компактности для следствий.

Задача 162.
Если высказывание следует из теории, то это высказывание следует из некоторой конечной ее части.

8.5. Теорема Лёвенгейма – Сколема о расширении

Доказав, или приняв на веру теорему Мальцева, мы можем рассмотреть ситуацию, в некотором смысле двойственную теореме Лёвенгейма – Сколема о подструктуре.

Задача 163. Теорема Лёвенгейма – Сколема об элементарном расширении
Для любой бесконечной нормальной структуры с конечной или счётной сигнатурой существует элементарное нормальное расширение сколь угодно большой мощности.