В России такой подход использовался в работе математических кружков — и студенческих, и аспирантских кружков, таких как «Школа Лузина» — «Лузитания», и кружков для школьников.

В эффективность такого подхода верил Николай Николаевич Константинов, создавший в нашей стране систему математических школ и классов, в которой выросли десятки тысяч и математиков, и не математиков.

Нам представляется особенно важным продолжить данную традицию вместе со студентами мехмата. Это — очень существенно для нашей работы в курсе «Введение в математическую логику и теорию алгоритмов». На лекциях мы будем обсуждать условия задач и подходы к их решению. Необходимые определения и условия задач вы можете найти на сайте в интернете, адрес мы вам предоставим.

Там же есть и подсказки и решения задач, но как вы уже поняли, намного лучше пытаться решать задачи самим. Получив очередную задачу, вы пытаетесь ее решить, видите, в чем (для вас) трудность. Пытаетесь преодолеть эту трудность, если не получаетесь, читаете подсказку и пробуете ее применить. Если опять не получается, читаете и пытаетесь понять решение. И в последнем случае ваше решение будет иметь для вас большей смысл, поскольку будет, очень вероятно, включать ответы на вопросы, которые у вас уже возникли.

Еще несколько общих замечаний. Использование специальных математических символов в математических текстах является одним из великих достижений (изобретений) математики; в частности, это существенная часть алгебры. Естественно возникает желание автоматически использовать символы: например, когда мы говорим «из всякого действительного числа можно извлечь квадратный корень» (ложное высказывание), немедленно хочется сказать «из всякого действительного числа можно извлечь квадратный корень». Это желание естественно для современного автора текста, но его реализация часто несколько мешает читателю. В курсе мы вводим символы, только если они нужны и действительно помогают пониманию текста. При этом читатель (студент) может вводить символы, чтобы обозначать встречающиеся объекты и операции. У преподавателей против этого нет никаких возражений, и мы будем рады обсуждать решения задач, где используется произвольная символика, понятная автору решения и объяснённая им. Вам еще придется писать различные, в том числе математические, тексты. Относящиеся к этому советы можно также найти у Халмоша в работе «How to write mathematics?»; исходный английский текст см., например, здесь, русский перевод: «Как писать математические тексты», см. здесь.

Символ означает «есть по определению» или что-то аналогичное.

Еще одно соглашение, относящееся к русскому математическому языку, используемому в курсе. Речь идет о слове «если»; поясним наше соглашение примером. Когда мы говорим «если натуральное число делится на 6, то оно делится на 2», то это утверждение верно для любого натурального числа, например для числа 5. Когда мы говорим «назовем натуральное число простым, если оно делится только на единицу и на само себя», то «если» понимаем как «тогда и только тогда», или «если и только если».

В курсе есть понятия (центральное из них, конечно, — истинность высказывания в структуре), которые используются много раз. Нам кажется полезным напоминать определения по ходу дела, поэтому не удивляйтесь, если определения будут повторяться.

У вас будет возможность рассказывать свои решения преподавателям курса. Среди задач есть совсем простые — «на понимание», они выделены буквой У — упражнение. Буквой Д выделены дополнительные задачи. Мы не ожидаем, что вы их решите, но попытки решения и обсуждение этих попыток могут оказаться полезными, иногда — стать темой вашей дальнейшей научной работы.

Кроме того, в нашем тексте имеются дополнительные разделы. Они не входят в основной лекционный курс, но вполне посильны для самостоятельного освоения. Чтобы не лишить читателя удовольствия придумать свое решение, мы в этих разделах приводим не все решения, иногда ограничиваясь подсказками.

Благодарности

По теме нашего курса имеются учебники, в частности написанные членами кафедры математической логики и теории алгоритмов МГУ Н. К. Верещагиным и А. Шенем; их можно найти в интернете. При их использовании следует иметь в виду, что они содержат больше материала, чем наш курс, а терминология и рассуждения в них могут отличаться от наших.

При создании курса на авторов, помимо образовательной философии Лузина — Константинова — Халмоша, в сильнейшей степени повлияло представление Владимира Андреевича Успенского (ученика А. Н. Колмогорова — великого представителя школы Лузина) о том, как должна быть устроена система понятий и терминов в математике. Владимиру Андреевичу авторы, являющиеся его учениками (как и Верещагин и Шень), выражают особую благодарность.

Авторы благодарны М. Шамолину и М. Вишникину за помощь при подготовке текста.