Лекция 2 | Вполне упорядоченные множества

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Лекция 2. Вполне упорядоченные множества

Определение 18. Бинарное отношением < на некотором множестве называется линейным порядком, если оно транзитивно и для любых x, y из этого множества выполнено ровно одно из утверждений: x < y, x = y, y < x.

Задача 11. У Докажите, что отношение линейного порядка иррефлексивно и антисимметрично.

Определение 19. Множество с отношением порядка называется вполне упорядоченным множеством, сокращенно вум, если оно линейно упорядочено и всякое его непустое подмножество имеет наименьший элемент. Соответствующий порядок называется полным.

Наше определение не исключает случая пустого множества. В некоторых случаях удобно считать пустое множество вполне упорядоченным, так мы обычно и будем делать.

Задача 12. У Правда ли, что любое непустое вполне упорядоченное множество имеет а) наименьший б) наибольший элемент?

Задача 13. У Докажите, что любое подмножество вполне упорядоченного множества вполне упорядочено.

В нашем курсе, как и в других математических курсах мы свободно используем понятие натурального числа, например, можно сказать, что натуральное число – это 0, или цепочка десятичных цифр, начинающаяся не с нуля. Можно также построить последовательно все натуральные числа "из ничего".

Определение 20. (Натуральные числа по фон Нейману) Определим 0 как пустое множество. Единицей будем называть множество, состоящее из пустого множества. 2 = {0, 1}, 3 = {0, 1, 2}, ..., n = {0, 1, ..., n − 1}. ω = {0, 1, 2, ...}.

Задача 14. Как определить порядок на натуральных числах по фон Нейману, используя данное определение числа?

Задача 15. Правда ли, что ω — вполне упорядоченное множество?

Задача 16. Как можно определить сумму двух не пересекающихся вполне упорядоченных множеств, чтобы она была вполне упорядоченным множеством?

Определение 21. Определение ординала по фон Нейману:
Множество называется ординалом, если оно вполне упорядочено отношением принадлежности и каждый его элемент является его подмножеством.

Среди ординалов имеются и несчетные множества.

Задача 17. Как определить следующий элемент во вполне упорядоченном множестве?

Задача 18. Как определить предыдущий элемент во вполне упорядоченном множестве?

Задача 19. Правда ли, что любой элемент вполне упорядоченного множества имеет а) следующий б) предыдущий элемент?

Определение 22. Нулем вполне упорядоченного множества назовем его наименьший элемент Будем называть элемент вум предельным, если он не равен нулю и не имеет предыдущего.

Задача 20. Правда ли, что всякий элемент вполне упорядоченного множества является несколько раз следующим или за предельным, или за нулем?

Определение 23. Подмножество вполне упорядоченного множества называется его начальным отрезком, если оно вместе с каждым элементом содержит все элементы, меньшие его.

Задача 21. В соответствии с нашим определением пустое множество и вум целиком – это начальные отрезки. Докажите, что любой другой начальный отрезок состоит из всех элементов вум, меньших какого-то элемента a; обозначение: [0, a).

Задача 22. Правда ли, что объединение любого множества начальных отрезков — начальный отрезок?

Задача 23. Доказательство по индукции
Пусть утверждение A, зависит от натурального числа n и выполнено какое-то из усло-
вий (1) – (3):

(1)
A выполнено для n=0.
Если A верно для n, то A верно для n + 1.

ИЛИ (2)
Из того, что A верно для всех чисел, меньших, чем n, следует, что A верно и для n. (Для n=0 – частный случай.)

ИЛИ (3):
Из того, что A НЕ верно для некоторого n, следует, что A не верно и для какого-то меньшего числа.
Тогда A верно для всех натуральных чисел.

Продолжение условия задачи.
Доказательство по трансфинитной индукции
Пусть утверждение A, зависит от элемента b вполне упорядоченного множества B и
выполнено какое-то из условий (1) – (3):

(2)
Если A верно для всех элементов множества B, меньших, чем b, то A верно для b. (Для b=0 – частный случай.)

ИЛИ (3):
Из того, что A НЕ верно для некоторого b, следует, что A не верно и для какого-то
меньшего элемента множества B.

ИЛИ (1)
A верно для наименьшего элемента множества B.
Если А верно для элемента b, то А верно для элемента b + 1.
Если A верно для всех меньших, чем предельный элемент b, то А верно для b.

Тогда А верно для всех элементов множества B.

Задача 24. Индуктивно определенная функция единственна и определена на всем вум.

Определение 24. Вложение вум A в вум B – это взаимно однозначное соответствие
между A и начальным отрезком в B, переводящее порядок на A в порядок на B.

Упражнение: запишите подробно, что значит «переводящее порядок».

Решение. Если a < b, то f(a) < f(b).

Определение 25. (Объединение отображений) Отображение — это множество пар. Объединение отображений — это объединение множеств.

Задача 25. У: Запишите подробно, когда объединение отображений из множества A в множество B является отображением.

Определение 26. Будем называть отображение f продолжением отображения g, если отображение g (как множество пар) является подмножеством отображения f. Мы уже упоминали выше, что то, что мы называем функцией, иногда называли графиком функции; таким образом, одна функция продолжает другую, если один график как бы «продолжает» другой, то есть содержит этот другой.

Задача 26. Докажите, что если одно вум вкладывается в другое, то это вложение
единственно.

Задача 27. Покажите, что образ всякого вум A при всяком вложении в вум A (то есть в него само) совпадает с A.

Задача 28. Теорема о сравнимости вум. Доказать, что для любых двух вум какое-то из них вкладывается в другое.

Доказательство этой теоремы получится как результат нескольких лемм — задач, которые идут ниже, в которых идет речь о двух вум A и B . В этих леммах мы рассматриваем всевозможные вложения начальных отрезков A в B.

Задача 29. Если один начальный отрезок множества A продолжает другой, то их вложения в множество B тоже обязательно будут продолжать друг друга.

Задача 30. 1. Будет ли объединение всех вложений начальных отрезков A в B вложением?
2. Может ли получиться так, что прообраз — не все A и при этом образ — не все B?

1. Объединение будет отображением в силу предыдущей задачи: элемент из A должен получать один и тот же образ при любых двух (а значит, и при всех)
отображениях начальных отрезков, участвующих в объединении.
Любые два элемента из области определения объединения лежат в каком-то одном из начальных отрезков, участвующих в объединении. Поэтому объединение будет взаимнооднозначным и сохраняющим порядок.
Область определения объединения отображений — начальный отрезок A, как объединение начальных отрезков.
Аналогично, множество значений объединения также будет начальным отрезком.
Поэтому объединение вложений является вложением некоторого начального отрезка из A в начальный отрезок в B.
2. Пусть этот отрезок не совпадает со всем A а его образ отличен от всего B.
Тогда можно было бы взять наименьший элемент, который не получил образа в объединении отображений и поставить ему в соответствие наименьший элемент не из образа.
Противоречие доказывает утверждение 2.
Задача, которую мы сейчас решили, завершает доказательство теоремы о сравнимости вум.
Для всякого множества A через 2^A обозначается множество всех подмножеств A; на-
помним, что это множество изоморфно множеству всех функций из A в 2 = {0, 1}.

Определение 27. Пусть A — множество. Отображение из 2^A в A, для которого образ каждого непустого подмножества A принадлежит этому подмножеству, называется функцией выбора для A.

Задача 31. У. Докажите, что если A не пусто, то не существует взаимнооднозначного соответствия между A и 2^A.
Функция выбора для A не может быть взаимнооднозначной, если A содержит более одного элемента.

Задача 32. У. Для всякого вум можно определить функцию выбора.

Задача 33. Теорема Цермело. Если для множества существует функция выбора, то оно может быть вполне упорядочено.

Доказательство этой теоремы получится как результат нескольких лемм — задач, которые идут ниже.
Идея: если на части множества определен полный порядок, то нужно уметь этот порядок продолжить, хотя бы еще на один новый элемент.
Функция выбора дает нам элемент в подмножестве, как нам получить для продолжения порядка элемент вне подмножества?

Определение 28. Пусть для множества A задана функция выбора. Определим на множестве всех подмножеств A, отличных от A функцию дополнения. Значением функции дополнения на подмножестве A положим значение функции выбора на дополнении к этому подмножеству.

Определение 29. Будем называть полный порядок на части X множества A, управляемым G, если всякий элемент из X есть значение G от множества всех меньших в этом порядке. В частности, наименьший элемент в X – это значение G на пустом множестве. (Мы помним, что этот элемент есть значение функции выбора на всем A.)

Можно (хотя и не обязательно) представить себе, что мы, начиная с этого выделенного
элемента расширяем порядок и это расширение на каждый «следующий элемент» диктуется нам «управляющей» функцией G, если мы уже сделали бесконечное количество шагов, то можно объединить все уже построенные расширения и добавить еще один элемент, используя ту же функцию G и т. п.

Задача 34. Пусть на множестве A задана функция дополнения. Рассмотрим два вполне упорядоченных подмножества в A, порядки на которых управляются этой функцией. Тогда какое-то одно из этих вполне упорядоченных множеств вложено в другое.

Задача 35. На множестве A существует полный порядок.

Задача 36. У. Если принять аксиому выбора, то на всяком множестве можно задать полный порядок.

Задача 37. Если принять аксиому выбора, то для любых двух множеств одно из них вложимо в другое.

2.1 Дополнительный материал. Лемма Цорна.

В "практической" математике аксиома выбора используется не слишком широко, однако некоторые ее следствия встречаются достаточно часто – в частности, лемма Цорна

Определение 30. Пусть Z – частично упорядоченное множество (с порядком ⩽). Элемент a ∈ Z называется максимальным, если (a ⩽ b) → a = b. Цепью называется любое линейно упорядоченное подмножество Z.

Задача 38. Лемма Цорна
Пусть Z – такое частично упорядоченное множество с порядком ⩽, что любая его цепь имеет верхнюю грань, то есть для любой цепи s найдется такой элемент w ∈ Z, что v ∈ s → v ⩽ w.
Тогда для любого a ∈ Z найдется максимальный элемент b ∈ Z, a ⩽ b.

Задача 39. Докажите, что из леммы Цорна следует, что любое множество можно вполне упорядочить.

Задача 40. Д Теорема (парадокс) Банаха — Тарского
Если принять Аксиому выбора, то всякий шар можно разбить на пять частей, передвинув которые можно сложить (без пустот и пересечений) два шара такого же радиуса.

Определение 31. Игра Банаха – Мазура
• Отрезок [0;1]. Два игрока: I и II.
• A — множество выигрыша для I.
• Поочередно в [0;1] игроки выбирают отрезки: следующий вложен в предыдущий; дли-
на отрезков стремится к нулю.
• Первый выигрывает, если в пересечении всех отрезков найдется точка из A.
• В противном случае выигрывает второй.

Общая идея, что в любой игре двух участников с корректно заданными правилами и фиксированной начальной позицией один из участников выигрывает, также выглядит правдоподобной.

Аксиома детерминированности. Во всякой игре Банаха – Мазура (т. е. для любого множества выигрыша) один из игроков имеет выигрышную стратегию.

Однако, совместить Аксиому выбора и Аксиому детерминированности – невозможно.

Задача 41. Д Если Аксиома выбора выполнена, то Аксиома детерминированности
ложна.

Задача 42. Следующие задачи этой лекции также являются дополнительными. Они не такие уж сложные, но лежат несколько вне основной линии изложения классического содержания курса математической логики и теории алгоритмов.

(i)
В просторном купе поезда едут шестеро Мудрецов. Поезд въезжает в туннель, и поскольку окна купе открыты, то копоть от паровоза испачкала лица кое-кого из мудрецов. В купе нет зеркала, поэтому каждый из Мудрецов видит лица других, но не видит своего. А поскольку они все не только очень умные, но и гордые, то каждый из них считает ниже своего достоинства спрашивать у других, испачкано ли у него лицо.
Все мудрецы знают, что на любой станции можно выйти и умыться, но никто из них не хочет выходить, не зная точно, что у него лицо грязное, чтоб не уронить свое достоинство перед другими. Поэтому станция за станцией никто не выходит.
На одном из перегонов между станциями в купе заглядывает проводник. Он видит, что кое у кого испачканы лица и сообщает, что грязное лицо можно умыть на любой станции.
На третьей станции, на которой остановились после визита проводника, все Мудрецы с
грязными лицами (и только они) вышли и умылись.
1. У скольких мудрецов были испачканы лица?
2. Что нового сообщил мудрецам проводник? Напомню, все и так знали, что на станции
можно умыться.

(ii)
Переаттестация Совета Мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает каждому колпак белого, синего или красного цветов. Все мудрецы видят цвета всех колпаков впереди стоящих мудрецов, а цвет своего и всех стоящих сзади не видят. Раз в минуту один из мудрецов должен выкрикнуть один из трёх цветов (каждый мудрец выкрикивает цвет один раз). После окончания этого процесса король казнит каждого мудреца, выкрикнувшего цвет, отличный от цвета его колпака. Накануне переаттестации все сто членов Совета Мудрецов договорились и придумали, как минимизировать число казненных. Скольким из них гарантированно удастся избежать казни?

(iii)
Счётное множество мудрецов выстроены в натуральный ряд (лицом в сторону возрастания ряда, так что каждый видит перед собой бесконечное число мудрецов). Каждый из мудрецов знает свой номер в последовательности. Каждому мудрецу надета на голову шляпа одного из трёх цветов, и каждому задается вопрос о цвете его шляпы. Всех, кто дает неправильный ответ, казнят. Мудрецы не слышат чужих ответов на заданные им вопросы (и не видят казней неправильно ответивших коллег) и, следовательно, не могут получать никакой новой информации. Могут ли они заранее договориться так, чтобы казнено было лишь конечное число мудрецов?

(i) У трех мудрецов были испачканы лица. Поскольку грязных трое, то они знали, что
есть грязные. Также они знали, что все остальные знают, что есть грязные. Но они не знали, что все остальные знают, что все остальные знают, что есть грязные! И именно это сообщил проводник! Если бы грязный был один, то он видел бы 5 чистых лиц и вышел бы на первой станции после визита проводника. Если бы грязных было двое, то они бы вышли на второй станции, рассуждая так: помимо меня есть еще один грязный, если он не вышел на первой станции, значит, я тоже грязный. Но раз чумазые вышли лишь на третьей станции, причем все, значит, их в точности было трое. В этом примере информация от проводника послужила, можно сказать, базой индукции для последующих рассуждений.

(ii) Перенумеруем цвета колпаков числами 0, 1, 2. Последний в колонне должен назвать цвет, соответствующий остатку от деления суммы всех видимых им номеров цветов колпаков на три. Следующий за ним сможет вычислить и назвать цвет своего колпака, и так далее. В результате гарантированно избежать казни смогут все, кроме первого.

(iii) Мудрецы должны разбить все последовательности на классы эквивалентности: последовательности эквивалентны, если совпадают их бесконечные хвосты. Такие последовательности будут отличаться лишь в конечном числе элементов. По AC выберем из каждого класса эквивалентности представителя, пусть мудрецы запомнят каждого представителя (надеюсь, они смогут это сделать). Теперь каждый мудрец видит перед собой последовательность, принадлежащую какому-то классу, представителя которого он знает, так как мудрец знает и свой номер, он называет цвет такого же номера в представителе данного класса. Таким образом, ошибиться могут лишь конечное число мудрецов.