Определение 32. Мы будем считать заданным конечное множество, элементы которого будем называть символами; они будут использоваться при построении логических языков. Некоторые цепочки символов мы назовем именами.
Имена могут иметь значения — математические объекты.
Под синтаксисом понимают правила построения имен, в том числе — образования составных имен из более простых.
Под семантикой понимают правила сопоставления именам значений.
Часто правила семантики описываются параллельно правилам синтаксиса.
Мы будем строить язык, то есть синтаксис и семантику логики отношений. Для того, что мы называем логикой отношений, часто используются другие термины, например: «логика предикатов первого порядка». В последнем термине «предикат» — синоним «отношения»; «первого порядка» означает, что в языке идет речь об объектах (например, числах), а не о множествах (например, чисел). Кроме того, в логике предикатов первого порядка часто используются имена не только для отношений, но и для функций. У нас имен для функций не будет; во многих случаях без использования имен для функций удается обойтись.
Главным, но не единственным, понятием при построении у нас будет формула. Мы будем определять синтаксис и семантику формул.
Определение 33. При построении мы будем иметь в виду, что значениями формул
окажутся отношения на каком-то множестве U — универсуме. Универсумы у нас – всегда не пустые. Элементы универсума мы иногда будем называть объектами.
Как мы уже говорили, иногда полезно считать, что отношение — это многоместная (в том числе — одноместная и нульместная) функция со значениями И и Л.
Определение 34. Нам могут понадобиться имена каких-то объектов — элементов универсума. Значением имени объекта будет этот объект. (Это семантика имен объектов.)
Важным свойством современных языков математики является то, что одно и то же имя может быть именем разных объектов, лежащих в разных универсумах. Например, в теории групп принято обозначать именем e единицу в самых разных группах.
Для того чтобы строить формулы, нам понадобится запас имен отношений. Для каждого имени отношения будет зафиксировано количество аргументов этого отношения. Естественно, значением имени отношения будет отношение на универсуме, «столько местное», сколько аргументов у имени. (Это семантика имен отношений.)
Имя может образовываться, как комбинация других имен, при этом в математике действуют договоренности о том, как значение такого сложного имени можно найти, зная
значения входящих в него более простых имен. Например, значением для имени R(a, b),
где R — имя двухместного отношения, а a, b — имена объектов, будет И или Л, что определяется значениями имен объектов a, b и значением имени отношения R.
Важным видом имен в математической логике являются формулы.
Имена вида R(a, b) будут у нас простейшими формулами, аргументов может быть любое конечное количество, начиная с нуля. Будем такие формулы называть атомными. Вскоре мы расширим определение атомных формул и дадим полное определение в формальном виде.
Определение 35. Сигнатурой называется любая совокупность имен объектов и имен отношений.
Структурой данной сигнатуры называется произвольное множество — универсум с заданными на нем значениями всех элементов сигнатуры. При этом, конечно, значением имени объекта должен быть объект – элемент универсума, значением имени n-местного отношения должно быть n-местное отношение, в частности, значение нульместного отношения должно быть И или Л.
В нашем курсе мы чаще всего в качестве структур рассматриваем частично упорядоченные множества. Это универсум с заданным на нем двухместным отношением, удовлетворяющим дополнительным свойствам. Для разнообразия приведем пример из другой области.
Сигнатурой группы можно считать набор: e – имя объекта (единица), inv – имя двухместного отношения (обратный элемент), prod – имя трехместного отношения (произведение).
Группой можно назвать универсум G, на котором заданы значения выписанных выше элементов сигнатуры, при этом выполнены соответствующие (групповые) свойства: ассоциативность и т. д. Вместо привычных операций мы использовали здесь соответствующие отношения, например, вместо двухместной групповой операции трехместное отношение prod.
Определение 36. При построении составных формул будем использовать логические связки и кванторы. Мы их перечисляем, указывая в скобках, как их можно читать:
Одноместная связка:
Отрицание (не) ¬
Двухместные связки:
Дизъюнкция (или) ∨
Конъюнкция (и) ∧
Импликация (если,..., то...) →
Эквивалентность (эквивалентно) ≡
Кванторы:
Квантор существования (существует) ∃
Квантор всеобщности (для всех) ∀
В наших рассуждениях мы будем иногда использовать конструкции: «если,... то...» и «эквивалентно». Эти рассуждения проходят в метаязыке – русском математическом языке.
Бывает полезно отличать эти конструкции метаязыка от символов языка логики отношений. В метаязыке мы будем использовать:
следствие =⇒ ;
логическую эквивалентность (равносильность) ⇐⇒ или ⇔.
В языке логики отношений используются переменные. Идея использования переменных в том, что, во-первых, вместо переменной можно подставить имя какого-то объекта из универсума. Детально мы проясним ситуацию далее. Во-вторых, мы будем использовать кванторы, говорить «для всех x...» и «существует x...», где x — переменная. Первое использование соответствует нашему неформальному представлению о свободных переменных, второе — о связанных.
Мы фиксируем множество, обычно счетное, V всех переменных, которые будут использованы в языке логики отношений:
x, y, ...
Переменные будут входить уже в атомные формулы R(x, y), аналогично именам объектов в формулах вида R(a, b).