Часто правила семантики описываются параллельно правилам синтаксиса.

Мы будем строить язык, то есть синтаксис и семантику логики отношений. Для того, что мы называем логикой отношений, часто используются другие термины, например: «логика предикатов первого порядка». В последнем термине «предикат» — синоним «отношения»; «первого порядка» означает, что в языке идет речь об объектах (например, числах), а не о множествах (например, чисел). Кроме того, в логике предикатов первого порядка часто используются имена не только для отношений, но и для функций. У нас имен для функций не будет; во многих случаях без использования имен для функций удается обойтись.

Главным, но не единственным, понятием при построении у нас будет формула. Мы будем определять синтаксис и семантику формул.

Важным свойством современных языков математики является то, что одно и то же имя может быть именем разных объектов, лежащих в разных универсумах. Например, в теории групп принято обозначать именем e единицу в самых разных группах.

Для того чтобы строить формулы, нам понадобится запас имен отношений. Для каждого имени отношения будет зафиксировано количество аргументов этого отношения. Естественно, значением имени отношения будет отношение на универсуме, «столько местное», сколько аргументов у имени. (Это семантика имен отношений.)

Имя может образовываться, как комбинация других имен, при этом в математике действуют договоренности о том, как значение такого сложного имени можно найти, зная значения входящих в него более простых имен. Например, значением для имени , где — имя двухместного отношения, а — имена объектов, будет или , что определяется значениями имен объектов и значением имени отношения .

Важным видом имен в математической логике являются формулы.

Имена вида будут у нас простейшими формулами, аргументов может быть любое конечное количество, начиная с нуля. Будем такие формулы называть атомными. Вскоре мы расширим определение атомных формул и дадим полное определение в формальном виде.

В нашем курсе мы чаще всего в качестве структур рассматриваем частично упорядоченные множества. Это универсум с заданным на нем двухместным отношением, удовлетворяющим дополнительным свойствам. Для разнообразия приведем пример из другой области.

Сигнатурой группы можно считать набор: – имя объекта (единица), – имя двухместного отношения (обратный элемент), – имя трехместного отношения (произведение).

Группой можно назвать универсум , на котором заданы значения выписанных выше элементов сигнатуры, при этом выполнены соответствующие (групповые) свойства: ассоциативность и т. д. Вместо привычных операций мы использовали здесь соответствующие отношения, например, вместо двухместной групповой операции трехместное отношение .

В наших рассуждениях мы будем иногда использовать конструкции: «если,... то...» и «эквивалентно». Эти рассуждения проходят в метаязыке – русском математическом языке.

Бывает полезно отличать эти конструкции метаязыка от символов языка логики отношений. В метаязыке мы будем использовать:
следствие ;
логическую эквивалентность (равносильность) или .

В языке логики отношений используются переменные. Идея использования переменных в том, что, во-первых, вместо переменной можно подставить имя какого-то объекта из универсума. Детально мы проясним ситуацию далее. Во-вторых, мы будем использовать кванторы, говорить «для всех ...» и «существует ...», где — переменная. Первое использование соответствует нашему неформальному представлению о свободных переменных, второе — о связанных.

Мы фиксируем множество , обычно счетное, всех переменных, которые будут использованы в языке логики отношений:

Переменные будут входить уже в атомные формулы , аналогично именам объектов в формулах вида .

Проблема однозначности анализа
В школьной арифметике мы встречаемся с проблемой анализа составного имени, то есть выделения в нем составляющих: значение составного имени это или ?

Там эта проблема решается частным, специальным способом — с помощью введения приоритетов операций, а также — более универсальным способом — использованием скобок.

Мы можем написать: и все становится понятным. Роль скобок: задать способ анализа формулы при вычислении ее значения.

С той же проблемой мы сталкиваемся при построении логических языков. Например, как найти значение формулы:
и или ?

Универсальным решением здесь также является использование скобок:
( и ) или (),
() и ( или )
— два разных анализа. Они могут давать разные значения. Результатом первого анализа формулы
и или В
оказывается
( и ) ; (); союз «или»,
результатом второго
() ; ( или ); союз «и».

Договоримся заключать формулу в скобки перед тем, как включить ее в состав другой, строящейся формулы. Это может помочь с анализом.

У нас есть теперь весь «строительный материал» для построения формул: имена объектов, переменные, имена отношений, логические связки и кванторы, скобки.

Более того, атомные формулы мы уже определили.

Определение всех формул будет индуктивным, начиная с атомных формул.

Стоит отметить, что можно было бы использовать скобки иначе: вместо можно было называть формулой и т. п.

Варианты индуктивных определений и доказательств у нас уже были, когда мы обсуждали индукцию и трансфинитную индукцию; их много в разных областях математики.

В данном случае мы индуктивно определяем формулу, но не исходя из чего-то одного, полученного на предыдущем шаге, а из всего запаса более простых формул.

Полностью договорившись о правилах расстановки скобок мы довольно быстро начнем их нарушать — «опускать» скобки, которые «легко восстановить», как это делается в математике повсеместно.

Как можно ожидать и видно из арифметического примера, с которого начинался настоящий раздел, анализ нам понадобится при определении семантики — значения формул.

Заметим, наконец, что индуктивное определение формулы непосредственно связано с частичным порядком «быть подформулой» на формулах, как раз и определяемым их индуктивным построением.

Частичный порядок на формулах обладает свойством фундированности, аналогичным свойству полного порядка, которое мы изучали на прошлой ступени.

Для фундированных множеств «работают» те же методы доказательства и построения, которые мы рассматривали для вполне упорядоченных множеств. Доказательство того, что эти методы «работают», почти очевидно, но все же мы его приведем.

• Задача 50. Доказательство индукцией по построению формулы

Пусть утверждение зависит от формулы и выполнены условия:
— верно для всех атомных формул;
— для любой формулы , если верно для всех подформул , то верно для .
Тогда верно для всех формул.

• Задача 51. Определение индукцией по построению формул

Пусть объект зависит от формулы и выполнены условия:
— объект однозначно определен для всех атомных формул;
— для любой формулы , если определен для всех подформул , то определен для .
Тогда определен для всех формул.

Иногда определение индукцией по построению формулы называют рекурсивным построением.

Примеры у нас скоро появятся.

Мы завершили описание синтаксиса формул.

Следующая наша задача — определение семантики всех формул.

Но начнем мы с обсуждения переменных.

Переменные — свободные и связанные

Мы уже неформально поясняли раньше смысл использования переменных. Во-первых, вместо переменной можно подставлять имя объекта.

Например, в формулу. где — имя отношения «меньше» на натуральных числах, можно подставить — имя пятерки вместо и — имя тройки вместо и найти значение получившегося высказывания. Это — .

Второе использование переменных связано с кванторами.

Рассмотрим универсум рациональных чисел и двухместное отношение на нем с именем . Значение этого имени: «первый аргумент есть корень квадратный из второго аргумента».

Тогда значение формулы будет , а формулы — .

Мы видим, что есть различие в двух описанных способах использования переменных. При первом способе мы можем считать переменные именами объектов. Во втором случае подстановка какого-то имени в какое-то место формулы вместо переменной смысла не имеет.

В первом случае мы говорим о свободной переменной, во втором — о связанной.

Продолжая рассмотрение нашего примера, заметим, что в структуре, где универсум — это множество всех действительных чисел, а значение имени — то же, значением обеих рассмотренных формул будет .

Неформальный план задания семантики

Если зафиксировать структуру и присвоить некоторые значения свободным переменным формулы, то, естественно, значением формулы будет или .

Если значения свободных не фиксировать, то значением формулы для данной структуры естественно считать отношение на универсуме структуры с таким количеством аргументов, сколько свободных переменных в формуле. Однако нам технически удобнее будет поступить иначе. Мы будем рассматривать «присваивание» значений всем переменным языка одновременно, такое «присваивание» назовем «контекстом». Тогда фиксация структуры и контекста задает сразу значения всех формул «в этом контексте», для каждой формулы — это или .

Итак, наше определение значения формулы в структуре — это отображение из множества всех контекстов этой структуры в , .

Среди всех формул мы выделяем высказывания — формулы без свободных переменных. Если структура фиксирована, то значением всякого высказывания в этой структуре является или . Мы говорим, что высказывание истинно, или выполнено в структуре, если его значение — .

Если сигнатуру фиксировать, то можно рассмотреть множество всех высказываний с этой сигнатурой. Среди этих высказываний можно выделить те, которые истинны в любой структуре с этой сигнатурой и называть их просто истинными, или истинами.

Если существует структура, где высказывание истинно, мы будем назвать его выполнимым.

Мы будем давать имена всем объектам универсума; конечно, здесь есть трудность, поскольку универсум может быть несчётным, но позволим себе такую абстракцию, как имена для элементов любого множества, по-прежнему стараясь проводить различие между именем и значением.

Контекст нам будет нужен для того, чтобы определить, какое отношение задается формулой. Ясно, что поскольку переменных, в том числе свободных, в формуле — только конечное число, то и «подставлять» в формулу придется только конечное число имен. Зачем же нам нужен бесконечный контекст, где значения «присваиваются» сразу всем переменным?

Использование такого подхода связано со следующим. Предположим, нам нужно определить отношение, задаваемое дизъюнкцией двух формул. Тогда нам нужно было бы сначала найти объединение множеств свободных переменных, входящих в формулы и определять значение дизъюнкции на этом новом множестве. В результате дизъюнкция двух формул, задающих трехместные отношения может дать формулу, задающую пятиместное отношение. Подход, который мы используем, позволяет не заботиться о таком объединении: контекст сразу задает значения всех переменных. Разумеется, слушатель (читатель) может использовать и свой способ определения семантики логики отношений и преодоления указанных трудностей.

Теперь мы можем индуктивно определить значение формулы нашего языка в заданном контексте. При этом мы будем иметь в виду, что значение каждой переменной уже задано контекстом.

Начнем, естественно, с атомных формул.

Можно считать, что первым шагом в вычислении значения атомной формулы является переход к формуле, где нет переменных, а есть только имена — из сигнатуры и из контекста. Вторым шагом является собственно вычисление значения с использованием значений всех имен.

Мы ожидаем, что семантика кванторов в формулах должна соответствовать их названию и интуитивно понятному предназначению. Чтобы этого достичь, придется рассматривать не только тот контекст, в котором мы определяем значение формулы, но и все контексты, отличающиеся от него на месте переменной, по которой «навешен» квантор.

В этих других контекстах мы «придаем» этой переменной все возможные значения, «заставляем» ее «пробегать» весь универсум.

Итак, мы завершили формулирование определения значения формулы в данном контексте для данной структуры.

Вы могли заметить, что при этом мы исходили из однозначности анализа формулы — выделения составляющих.

Итак, в данной структуре и фиксированном контексте значение формулы — это или . Для нас важна, прежде всего, ситуация, когда структура фиксирована, а контексты берутся всевозможные. Другими словами мы хотим определить, какое отношение на контекстах определяет данная формула.

Одна и та же переменная может оказаться и свободной и связанной, более того, даже в одной и той же формуле. Пусть, строя новую формулу, мы начинаем ее со знака квантора и переменной, например, или . В построенной формуле переменная не является свободной, а является связанной. Комбинация символов называется «квантором по ». Также говорят, что по «навешен квантор». При дальнейшем построении формул «снаружи» можно создать конъюнкцию рассматриваемой формулы с другой, где тоже есть — уже свободная и т. д.

Приведем пример. Рассмотрим формулу и контекст . Тогда, если , то формула ложна, а, если , то формула истинна.

Поэтому в некоторых ситуациях нужно говорить не просто о переменной, а о вхождении переменной, то есть переменной, вместе с ее положением в формуле (можно указывать номер символа, или отмечать вхождение, например, звездочками). Вхождения могут быть связанными и свободными.

Однако иногда бывает важно указать, какие переменные имеют хоть какое-то свободное вхождение в формулу.

Записывая какую-то формулу, мы обычно имеем в виду, что эта формула задает отношение с конечным количеством аргументов — «конечно-местное».

Таким образом, значением высказывания является или .

Приведем фундаментальные для нашего курса определения, к которым мы еще будем возвращаться.

В математических рассуждениях мы довольно часто переходим от одной формулы к другой, ей логически эквивалентной. Например, мы говорим, что равносильность двух утверждений логически эквивалентна конъюнкции двух импликаций — «слева направо» и «справа налево».

Естественно говорить о такой ситуации, когда значения формул берутся в одной и той же структуре заданной сигнатуры. Бывают эквивалентности, верные в любой структуре.

К наиболее широкоупотребительным эквивалентностям относятся дизъюнктивная нормальная форма и предваренная нормальная форма.