Ступень 4 | Элиминация кванторов в поле действительных чисел

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Ступень 4. Элиминация кванторов в поле действительных чисел

Неформальное замечание. Как было замечено на прошлой лекции, сложность отношения, определяемого формулой, бывает связана с кванторами, входящими в эту формулу, например, в ее предваренной нормальной форме, когда кванторы впереди. Стратегия в соответствующей игре может быть сложной и т. д. Во многих важных случаях, например, когда в качестве универсума выбрано множество натуральных чисел, а в качестве сигнатуры взяты трехместные отношения суммы и произведения , добавление кванторов дает все более и более сложные отношения, образующие т. н. арифметическую иерархию.

Есть, однако, несколько замечательных случаев, когда добавление кванторов не приводит к расширению множества отношений. Один из таких случаев – это случай поля действительных чисел, где атомными формулами являются равенство нулю, положительность и отрицательность полиномов от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Можно было бы формально ввести соответствующую таким формулам сигнатуру, но мы этого делать не будем. Значение атомной формулы в любом контексте, где значениями переменных становятся действительные числа, определяется естественно.

Логику отношений с такой системой атомных формул и естественной семантикой мы будем обозначать .

Мы начнем с простейшего, «школьного» примера, поясняющего базовую ситуацию «избавления» от квантора, его «элиминации».

Задача 62. Напишите бескванторную формулу, эквивалентную формуле:

здесь — переменные.

Определение 52. Полуалгебраическим отношением будем называть всякое отношение, задаваемое формулой языка .

Полуалгебраическим множеством будем называть множество в конечномерном действительном пространстве , задаваемое полуалгебраическим отношением, т. е. состоящее из всех точек, где это отношение истинно.

Задача 63. Пусть некоторое множество в задается формулой , как написать формулу, задающую проекцию этого множества вдоль оси ?

Основным результатом настоящей лекции будет теорема Тарского, состоящая в том, что всякая формула рассматриваемой логики отношений эквивалентна бескванторной. Основным шагом в доказательстве будет устранение (или как еще говорят — «элиминация») квантора существования. Мы это проделали выше в случае квадратного трехчлена. Можно сообразить, как, пользуясь этим шагом, доказать и всю теорему.

Определение 53. (Диаграмма)

Назовем сегментом всякую точку и всякий открытый интервал, концом интервала может быть и или .

Знаком назовем каждый из трёх символов или .

Пусть — многочлены от с действительными коэффициентами. Диаграммой набора называется таблица, которая строится следующим образом:

Расположим все корни наших многочленов, не считая нулевых многочленов, в порядке возрастания:

Корни разобьют числовую ось на сегментов, на каждом из которых знаки всех постоянны.

Составим таблицу, в которой будет строк (по одной для каждого из многочленов) и нужное количество столбцов, соответствующих всем сегментам.

В каждой ячейке таблицы запишем знак соответствующего многочлена (строка) на соответствующем сегменте (столбец).

Наконец, в строках, соответствующих нулевым многочленам, поставим все нули. Если вся система многочленов состоит из такого многочлена, то в таблице будет одна клетка с нулем, соответствующая всей прямой.

Сейчас мы построим примеры диаграмм для следующего по сложности случая.

Задача 64. Постройте диаграмму для набора, состоящего из одного многочлена: .

Задача 65. Какими могут быть диаграммы для набора, состоящего из одного многочлена: ?

Перечислите все возможные диаграммы и для каждой укажите соответствующие ей условия на

Чтобы понять, с какими трудностями нам придется столкнуться, рассмотрим случай двух многочленов.

Задача 66. Напишите бескванторную формулу, эквивалентную формуле: здесь — переменные.

Нарисуйте все гипотетически возможные диаграммы для данной пары многочленов, входящих в формулу, для которых нужное существует.

Заметим, что эту задачу мы решили, не обращаясь к явной формуле для корней многочлена второй степени. В случае многочленов пятой степени такая формула и невозможна.

Оказывается, и в самом общем случае удается вопрос о существовании значения переменной , для которого выполнена бескванторная формула , свести к истинности бескванторной формулы, не содержащей , но, естественно, содержащей коэффициенты полиномов, входящих в формулу . Конечно, сами эти коэффициенты могут быть полиномами от переменных, отличных от , а не просто переменными, как было в уже рассмотренных примерах. Эти переменные мы, в наших рассмотрениях, будем называть параметрами.

В элиминации квантора ключевым звеном являются следующие неформальные соображения.

1. Истинность бескванторной формулы полностью определяется знаками всех входящих в эту формулу многочленов во всех сегментах прямой, если среди этих сегментов есть корни всех многочленов, то есть диаграммой набора многочленов.

2. Указанная информация о корнях и знаках для набора многочленов от переменной может быть получена из аналогичной информации для некоторого набора многочленов меньшей степени: диаграмма может быть построена исходя из диаграммы для многочленов меньшей степени.

Эти неформальные соображения будут прояснены в следующих определениях и задачах.

Говоря о многочленах, мы всегда выделяем одну переменную, скажем , говоря о степени, имеем в виду степень по и т. д. При этом мы понимаем, что коэффициенты многочленов сами являются многочленами от других переменных — параметров.

Задача 67. Пусть и — многочлены от одной переменной (в данном случае без параметров) над полем действительных чисел, причем степень меньше или равна степени и больше нуля. Как построить такой многочлен , степень которого меньше степени , что знак многочлена в любом корне многочлена равен знаку многочлена в той же точке?

Комментарий. Вы видите, что наша задача имеет отношение к нашим неформальным соображениям: в ней идет речь о знаке одного многочлена в корне другого, и она помогает свести вопрос о таком знаке к вопросу, относящемуся к многочленам меньшей степени.

Задача 68. Разделите с остатком многочлен на многочлен . Как найти знак первого многочлена в корнях второго? На что можно домножить делимое, чтобы остаток имел целые коэффициенты?

Перейдем теперь к многочленам от многих переменных, среди которых одна — выделенная. Говоря о степени, будем говорить о степени по .

Задача 69. Пусть и — многочлены от нескольких переменных с целыми коэффициентами, степень больше . На что нужно домножить делимое, чтобы коэффициенты остатка при делении на стали многочленами с целыми коэффициентами?

Заметим, что коэффициент, старший в записи , может быть равен нулю при некоторых значениях параметров и «настоящим» старшим коэффициентом станет совсем другой многочлен от параметров. Поэтому при разных значениях параметров домножать придется на разные многочлены.

Почему нас так беспокоит дробность коэффициентов? Ведь мы могли и с самого начала рассматривать многочлены с коэффициентами из поля рациональных чисел. Дело, однако, в том, что наши коэффициенты — не числа, а сами — многочлены. Деление в столбик здесь «работает» точно так же, как и для многочленов с числовыми коэффициентами. Но появление алгебраических дробей уже усложнило бы наше рассуждение существенно.

Определение 54. Результатом операции модифицированного деления многочлена на ненулевой многочлен является остаток от деления многочлена на , где — это старший ненулевой коэффициент многочлена , а .

Задача 70. Как, используя операцию модифицированного деления, определить знак в корне многочлена ?

Нам понадобится несколько простых утверждений из алгебры и математического анализа.

Задача 71. Если на интервале непрерывная функция меняет знак, на этом интервале у нее есть корень.

Задача 72. Если на интервале у производной многочлена нет корня, то на этом интервале у многочлена нет двух корней.

Задача 73. Знак многочлена в плюс и в минус бесконечности определяется номером и знаком его старшего ненулевого коэффициента.

Следующая задача сводит проблему существования значения переменной, для которой бескванторная формула истинна, к анализу диаграммы семейства многочленов, входящих в формулу.

Задача 74. Пусть задана бескванторная формула и все входящие в нее многочлены принадлежат набору . Если известна диаграмма набора при фиксированных значениях всех переменных, кроме переменной , то можно сказать, существует ли , для которого истинна эта формула.

Отметим, что в утверждении этой задачи диаграмма, конечно, может зависеть от параметров. Более того, какие-то диаграммы невозможны ни при каких значениях параметров.

Определение 55. Определим операции редукции по отношению к произвольному набору многочленов :
1. Взятие старшего коэффициента многочлена из .
2. Отбрасывание старшего члена многочлена из .
3. Взятие производной многочлена из .
4. Взятие остатка от модифицированного деления одного многочлена из на другой ненулевой из .

Результат применения всех возможных операций редукции по отношению к многочленам из назовем редукцией набора .

Задача 75. Найдите редукцию набора .

Задача 76. Максимальная степень многочленов из редукции набора меньше максимальной степени многочленов этого набора, если последняя степень не ноль.

Пусть дан набор многочленов , степени, не превосходящей . Индуктивно определим последовательность наборов :
;
получается из применением операций редукции 1–4 к , а также взятием остатка от модифицированного деления всех уже полученных многочленов из на многочлены из . Порядок многочленов в наборе несуществен.

Задача 77. Правда ли, что степени многочленов не превосходят ? Правда ли, что набор содержит все коэффициенты всех многочленов из ?

Обозначим набор через .
Будем строить семейство потенциальных диаграмм для .

Начнем с того, что выпишем сверху вниз столбец имен строк: на самом верху идут многочлены из набора , ниже из и т. д. При этом строки таблицы, отвечающие очередному , будем называть -ым блоком (потенциальной) диаграммы.

Первый шаг в построении диаграммы — это построение одного столбца диаграммы, в нем мы произвольным образом заполняем знаками все клетки нулевого блока. Конечно, среди таких заполнений могут быть и бессмысленные, например, не имеет смысла против многочлена ставить знак . Однако эта бессмысленность не повлияет на результат, как мы увидим в дальнейшем.

Дальнейшее построение потенциальной диаграммы полностью определяется этим заполнением и, конечно, многочленами из набора . Последнее утверждение является ключевым для доказываемой теоремы.

На очередном шаге мы будем заполнять клетки очередного блока двигаясь снизу вверх. При этом некоторые из имеющихся столбцов будут заменяться на три столбца. Одновременно будет идти заполнение клеток таблицы знаками.

Опишем действия, соответствующие -ому блоку таблицы при движении снизу вверх, то есть при переходе от -го блока к -ому.

Пусть , многочлен — это имя очередной строки в этом блоке и диаграмма для строк, идущих ниже, построена.

Последовательно для клеток строки с именем выполняем приведенные далее шаги. Сначала выполняем все возможные шаги 1, затем шаги 2, 3.

1. Клетка отвечает построенному ранее сегменту из одной точки, соответствующему какому-то корню какого-то многочлена , стоящего ниже, его степень не выше . Для заполнения клетки знаком используем: знак и степень старшего ненулевого коэффициента , модифицированное деление на многочлен, получаемый отбрасыванием нулевых слагаемых из , знак из строки остатка.

2. Клетка отвечает какому-то конечному интервалу. Тогда в концах этого интервала уже стоят знаки . Возможны случаи:
(a) в концах интервала стоит один и тот же ненулевой знак , или ноль и не ноль. В первом случае копируем этот знак в клетку. Во втором случае копируем не нулевой знак. На этом интервале у нет корней, т. к. если бы корень был, то были бы и два различных или совпадающих корня на отрезке, включающем концы интервала, но тогда интервал был бы уже разбит корнем производной (находящейся в блоке ниже). По той же причине невозможен интервал, где в обоих концах знак — ноль.
(b) в концах интервала и . Значит, на этом интервале у есть корень (в силу указанных соображений — только один), и в диаграмме нужно один сегмент заменить на три. Разбиваем столбец на три (по всей высоте), ставя в трех появившихся клетках строки соответствующие знаки из концов интервала, в средней — . В клетках трех появившихся столбцов ниже ставим тот знак, который стоял в клетке, которая «растроилась».

3. Клетки, отвечающие бесконечным интервалам, заполняем с учетом старшего члена многочлена с ненулевым коэффициентом. Знаки коэффициентов берем из нулевого блока диаграммы. Здесь также могут возникнуть три столбца, если знак в крайнем корне противоположен знаку на бесконечности.

Задача 78. Докажите, что построенная диаграмма является диаграммой набора при условии, что нулевой блок содержит диаграмму коэффициентов этого набора.

Задача 79. Завершаем доказательство теоремы.

Для произвольной формулы языка , где — бескванторная:

1. Выписываем семейство всех многочленов, входящих в .

2. Строим последовательность редукций

3. Для каждого заполнения знаками нулевого блока строим диаграмму для .

4. Отбираем те диаграммы для , где для блока существует , выполняющее : для этого перебираем все столбцы и получаем возможные комбинации знаков многочленов из , для каждой комбинации знаков проверяем .

5. Из каждой отобранной диаграммы выделяем нулевой блок . Выписываем конъюнкцию атомных формул, отвечающих диаграмме этого блока (в них нет ).

6. Строим дизъюнкцию выписанных конъюнкций.

Докажите, что эта дизъюнкция эквивалентна формуле .

Задача 80. Докажите, что всякая формула логики эквивалентна бескванторной.