Вспомните про дискриминант квадратного уравнения и обратите внимание на то, что многочлен в данной формуле может иметь степень меньше двух.

(a > 0) ∨ ((a = 0) ∧ (b ̸= 0)) ∨ ((a = b = 0) ∧ (c < 0)) ∨ ((a < 0) ∧ (b² + 4ac > 0)).

∃y(Φ).

Основным результатом настоящей лекции будет теорема Тарского, состоящая в том, что всякая формула рассматриваемой логики отношений LR эквивалентна бескванторной. Основным шагом в доказательстве будет устранение (или как еще говорят — «элиминация») квантора существования. Мы это проделали выше в случае квадратного трехчлена. Можно сообразить, как, пользуясь этим шагом, доказать и всю теорему.

Читайте определение.

Конечно, диаграмма: +0 − .

Основные альтернативы связаны со знаком старшего ненулевого коэффициента многочлена.

Для данного многочлена есть 11 возможностей. Многочлен может иметь два корня, иметь один корень, не иметь корней, а также в каждом из случаев парабола может смотреть вверх или вниз. А еще старший коэффициент может быть равным нулю, а второй — не равен нулю, также старший и также второй коэффициенты могут быть равными нулю, и наконец, все коэффициенты могут быть равны нулю. Перечислим все 11 случаев с указанием соответствующих условий на коэффициенты многочлена.

1. Два корня, парабола смотрит вверх. Диаграмма: + 0 — 0 +.
Условия: (b² + 4ac > 0) ∧ (a > 0).

2. Два корня, парабола смотрит вниз. Диаграмма: — 0 + 0 —.
Условия: (b² + 4ac > 0) ∧ (a < 0).

3. Один корень, парабола смотрит вверх. Диаграмма: + 0 +.
Условия: (b² + 4ac = 0) ∧ (a > 0).

4. Один корень, парабола смотрит вниз. Диаграмма: — 0 —.
Условия: (b² + 4ac = 0) ∧ (a < 0).

5. Нет корней, парабола смотрит вверх. Диаграмма: +.
Условия: (b² + 4ac < 0) ∧ (a > 0).

6. Нет корней, парабола смотрит вниз. Диаграмма: —.
Условия: (b² + 4ac < 0) ∧ (a < 0).

7. Корень единственный, прямая возрастает. Диаграмма: — 0 +.
Условия: (a = 0) ∧ (b > 0).

8. Корень единственный, прямая убывает. Диаграмма: + 0 —.
Условия: (a = 0) ∧ (b < 0).

9. Корней нет, прямая лежит выше оси абсцисс. Диаграмма: +.
Условия: (a = b = 0) ∧ (c > 0).

10. Корней нет, прямая лежит ниже оси абсцисс. Диаграмма: —.
Условия: (a = b = 0) ∧ (c < 0).

11. Многочлен нулевой. Диаграмма: 0.
Условия: a = b = c = 0

Чтобы понять, с какими трудностями нам придется столкнуться, рассмотрим случай двух многочленов.

Попробуйте нарисовать всевозможные взаимные расположения графиков двух многочленов при разных значениях параметров b, c, d, e. Воспользуйтесь явной формулой для решения линейного уравнения.

Если d = 0, то существование нужного x эквивалентно наличию двух корней у квадратного многочлена, то есть b2 − 4c > 0 и одновременно e = 0.

Если d не равно 0, корнем второго многочлена является −e/d . Подставим этот корень в первый многочлен получим условие, эквивалентное существованию решения у нашей системы:

e²/d² − be/d − c < 0,

что, в свою очередь эквивалентно e2 − bed − cd2 < 0.

Избавиться от знаменателя нам нужно, поскольку в состав атомных формул у нас могут входить не алгебраические дроби, а именно мно-гочлены. Эту проблему мы еще обсудим.

Ответ:
∃x((x2 + bx − c < 0) ∧ (dx + e = 0)) ⇔
⇔ ((b2 + 4c > 0) ∧ (d = e = 0)) ∨ ((e2 − bde − cd2 < 0) ∧ d ̸= 0).

Возможные диаграммы первого многочлена:

Возможные диаграммы второго многочлена:

Среди большого количества диаграмм семейства из двух данных многочленов нас устроят (в смысле существования x) комбинации третьей диаграммы для первого многочлена с первой, четвертой и пятой диаграммами второго многочлена; при этом корень второго должен находиться между корнями первого. Получаем следующие три диаграммы:
1.
2.


3.


Заметим, что эту задачу мы решили, не обращаясь к явной формуле для корней многочлена второй степени. В случае многочленов пятой степени такая формула и невозможна.

Оказывается, и в самом общем случае удается вопрос о существо-вании значения переменной x, для которого выполнена бескванторная формула Ф, свести к истинности бескванторной формулы, не содержащей x, но, естественно, содержащей коэффициенты полиномов, входящих в формулу Ф. Конечно, сами эти коэффициенты могут быть полиномами от переменных, отличных от x, а не просто переменными, как было в уже рассмотренных примерах. Эти переменные мы, в наших рассмотрениях, будем называть параметрами.

В элиминации квантора ключевым звеном являются следующие неформальные соображения.

1. Истинность бескванторной формулы полностью определяется знаками всех входящих в эту формулу многочленов во всех сегментах прямой, если среди этих сегментов есть корни всех многочленов, то есть диаграммой набора многочленов.
2. Указанная информация о корнях и знаках для набора многочленов от переменной может быть получена из аналогичной информации для некоторого набора многочленов меньшей степени: диаграмма может быть построена исходя из диаграммы для многочленов меньшей степени.

Эти неформальные соображения будут прояснены в следующих определениях и задачах.

Говоря о многочленах, мы всегда выделяем одну переменную, скажем x, говоря о степени, имеем в виду степень по x и т. д. При этом мы понимаем, что коэффициенты многочленов сами являются многочленами от других переменных — параметров.

Поделим многочлен p на многочлен q с остатком: p = uq+r, где u — некоторый многочлен, а степень r меньше степени q, а значит и меньше степени p. Конечно, знаки многочленов r и p в корне многочлена q совпадают.

Комментарий. Вы видите, что наша задача имеет отношение к нашим неформальным соображениям: в ней идет речь о знаке одного многочлена в корне другого, и она помогает свести вопрос о таком знаке к вопросу, относящемуся к многочленам меньшей степени.

Можно воспользоваться алгоритмом деления «в столбик».

Воспользовавшись делением в столбик получаем:
4x³ + 3x² + 2x + 1 = (4/5x − 9/25) · (5x² + 6x + 7) − 36/25x +88/25.

Знак первого многочлена в корнях второго совпадает со знаком многочлена:
−36/25x +88/25.

Старший коэффициент остатка равен −36/25 . Соответственно, домножить нужно на 25 — НОК знаменателей всех коэффициентов.

Перейдем теперь к многочленам от многих переменных, среди которых одна — выделенная. Говоря о степени, будем говорить о степени по x.

Задача эта похожа на предыдущую. Попробуем делить один многочлен на другой в столбик. При этом у нас получится частное и остаток, однако коэффициенты у них могут стать дробными, в знаменателе может появиться многочлен. Однако дело можно поправить, если заранее, еще до начала деления, делимое домножить на подходящий коэффициент (многочлен нулевой степени по x).

Домножим делимое на старший коэффициент многочлена q в степени, равной deg(p) − deg(q) + 1. Каждый раз, находя очередное слагаемое частного при делении в столбик, нам придется только домножать q на какой-то многочлен нулевой степени и вычитать из «хвоста» делимого. Каждый раз все коэффициенты будут оставаться целыми. То же верно и для остатка.

Заметим, что коэффициент, старший в записи q, может быть равен нулю при некоторых значениях параметров и «настоящим» старшим коэффициентом станет совсем другой многочлен от параметров. Поэтому при разных значениях параметров домножать придется на разные многочлены.

Почему нас так беспокоит дробность коэффициентов? Ведь мы могли и с самого начала рассматривать многочлены с коэффициентами из поля рациональных чисел. Дело, однако, в том, что наши коэффициенты — не числа, а сами — многочлены. Деление в столбик здесь «работает» точно так же, как и для многочленов с числовыми коэффициентами. Но появление алгебраических дробей уже усложнило бы наше рассуждение существенно.

Надо рассматривать знаки коэффициентов многочлена q и модифицированно делить p на многочлены, получающиеся вычеркиванием из q нулевых старших членов. Знак p получать, учитывая знак того одночлена, на который домножали.

Для определения знака p нам нужно будет отдельно рассмотреть все случаи, когда старший коэффициент q не равен нулю, и случаи, когда несколько старших коээфициентов равны нулю, наконец, случаи, когда q имеет степень ноль и q = 0. В каждом из случаев надо вычислить остаток от модифицированного деления p на q и, с учетом знака одночлена, на который мы домножали p, найти знак p.

Нам понадобится несколько простых утверждений из алгебры и математического анализа.

Утверждение следует из теоремы о промежуточном значении.

От противного: если у полинома на интервале есть два корня, тогда по теореме Ролля внутри этого интервала есть точка, в которой производная равна нулю, что противоречит условию.

Для многочлена четной степени его знак в плюс-минус бесконечности совпадает со знаком старшего коэффициента. Для многочлена нечетной степени знак в минус бесконечности противоположен знаку старшего коэффициента, а в плюс бесконечности с ним совпадает.

Следующая задача сводит проблему существования значения переменной, для которой бескванторная формула истинна, к анализу диаграммы семейства многочленов, входящих в формулу.

Формулы состоят из атомных формул: равенство нулю, положительность, отрицательность многочленов, поэтому, полностью зная диаграмму, просмотрев каждый ее столбец, мы сможем определить, существует ли такое значение x, что формула будет истинной при этих значениях переменных.

Отметим, что в утверждении этой задачи диаграмма, конечно, может зависеть от параметров. Более того, какие-то диаграммы невозможны ни при каких значениях параметров.

Применяйте все операции редукции ко всем многочленам набора.

2, 0, 4x, 1.

Рассмотрите каждую из операций отдельно.

Очевидно вытекает из определения операций.

Пусть дан набор многочленов F, степени, не превосходящей n. Индуктивно определим последовательность наборов Fn, ..., F0: Fn = F;

F_k−1 получается из F_k применением операций редукции 1–4 к F_k,
а также взятием остатка от модифицированного деления всех уже полученных многочленов из F_n, ..., F_k на многочлены из F_k. Порядок многочленов в наборе F_k−1 несуществен.

Вытекает из предшествующих задач и определений.

Ограничение на степени многочленов F_k получается по индукции из предшествующей задачи.

Наличие всех коэффициентов в F₀ вытекает из того, что старший коэффициент многочлена нулевой степени — это он сам, поэтому каждый старший коэффициент переходит из F_k в F_k−1 и в конце концов в F₀, с другой стороны, каждый коэффициент в какой-то момент становится старшим (после нескольких отбрасываний).

Обозначим набор F_n, ..., F₀ через F^∗.
Будем строить семейство потенциальных диаграмм для F^∗.

Начнем с того, что выпишем сверху вниз столбец F^∗ имен строк: на самом верху идут многочлены из набора F_n, ниже из F_n−1 и т.д. При этом строки таблицы, отвечающие очередному F_k, будем называть k-ым блоком (потенциальной) диаграммы.

Первый шаг в построении диаграммы — это построение одного столбца диаграммы, в нем мы произвольным образом заполняем знаками все клетки нулевого блока. Конечно, среди таких заполнений могут быть и бессмысленные, например, не имеет смысла против многочлена 1 ставить знак 0. Однако эта бессмысленность не повлияет на результат, как мы увидим в дальнейшем.

Дальнейшее построение потенциальной диаграммы полностью определяется этим заполнением и, конечно, многочленами из набора F^∗. Последнее утверждение является ключевым для доказываемой теоремы.

На очередном шаге мы будем заполнять клетки очередного блока двигаясь снизу вверх. При этом некоторые из имеющихся столбцов будут заменяться на три столбца. Одновременно будет идти заполнение клеток таблицы знаками.

Опишем действия, соответствующие k-ому блоку таблицы при движении снизу вверх, то есть при переходе от k − 1-го блока к k-ому.

Пусть k > 0, многочлен p — это имя очередной строки в этом блоке и диаграмма для строк, идущих ниже, построена.

Последовательно для клеток строки с именем p выполняем приведенные далее шаги. Сначала выполняем все возможные шаги 1, затем шаги 2, 3.

1. Клетка отвечает построенному ранее сегменту из одной точки, соответствующему какому-то корню какого-то многочлена q, стоящего ниже, его степень не выше k. Для заполнения клетки знаком используем: знак и степень старшего ненулевого коэффициента q, модифицированное деление p на многочлен, получаемый отбрасыванием нулевых слагаемых из q, знак из строки остатка.

2. Клетка отвечает какому-то конечному интервалу. Тогда в концах этого интервала уже стоят знаки p. Возможны случаи:
(a) в концах интервала стоит один и тот же ненулевой знак p, или ноль и не ноль. В первом случае копируем этот знак в клетку. Во втором случае копируем не нулевой знак. На этом интервале у p нет корней, т. к. если бы корень был, то были бы и два различных или совпадающих корня на отрезке, включающем концы интервала, но тогда интервал был бы уже разбит корнем производной (находящейся в блоке ниже). По той же причине невозможен интервал, где в обоих концах знак p — ноль.
(b) в концах интервала + и –. Значит, на этом интервале у p есть корень (в силу указанных соображений — только один), и в диаграмме нужно один сегмент заменить на три. Разбиваем столбец на три (по всей высоте), ставя в трех появившихся клетках строки p соответствующие знаки p из концов интервала, в средней — 0. В клетках трех появившихся столбцов ниже p ставим тот знак, который стоял в клетке, которая «растроилась».

3. Клетки, отвечающие бесконечным интервалам, заполняем с учетом старшего члена многочлена p с ненулевым коэффициентом. Знаки коэффициентов берем из нулевого блока диаграммы. Здесь также могут возникнуть три столбца, если знак в крайнем корне противоположен знаку на бесконечности.

Проверьте правильность «подъема» — заполнения каждого блока диаграммы, когда заполнены все блоки ниже.

Проверяем по индукции, что:
— на каждом шаге клетки создаются и заполняются в соответствии со смыслом диаграммы;
— вся используемая при этом информация содержится в блоках, расположенных ниже рассматриваемой клетки.

Проверьте эквивалентность ∃x(Ф) и того, что соответствующая диаграмма отобрана в п. 4.

Вытекает из предыдущих задач.

Вспомните индукцию по построению формулы.

Выше мы научились элиминировать квантор существования, на самом деле это все, что нам нужно. Квантор всеобщности можно выразить через квантор существования таким трюком: ∀x(A) =¬∃x(¬A). Теперь мы можем все выразить через кванторы существования, а с каждым из них мы разберемся по очереди. В итоге получим эквивалентную, но уже бескванторную формулу.