Ступень 5 | Модальная логика

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Ступень 5. Модальная логика

Логика высказываний — логика отношений, где все имена отношений нульместные, нет переменных и кванторов. Нульместные имена отношений в данной лекции мы называем просто именами, других имен у нас не будет.

Определение 56. (Язык модальной логики) Фиксируется некоторое конечное или счётное множество имен. К языку логики высказываний добавляется символ модальности □, синтаксически подобный отрицанию. Это символ читается «необходимо».

Модели естественного языка и рассуждения, которые формализует □(A):
1. Необходимо A
2. Всегда A
3. Должно быть A
4. Известно, что A
5. Считается, что A
6. Утверждение A доказуемо
7. После завершения программы выполнено A

Другие модальности — похожие и не похожие на необходимость: желательно, вероятно, запрещено, хорошо, удобно... К некоторым из них мы вернемся в конце главы.

Задача 81. Дать определение формулы модальной логики и доказать, что для любой формулы Θ выполнено ровно одно:
• Θ — имя,
• Θ = ¬(Φ), где Φ — формула, однозначно определяемая по формуле Θ,
• Θ = □(Φ), где Φ — формула, однозначно определяемая по формуле Θ,
• Θ = (Φ) τ (Ψ), где τ — двухместная связка, Φ, Ψ — формулы, связка и обе формулы однозначно определяются по формуле Θ.

Определение 57. (Шкала Крипке) Шкала Крипке — произвольная пара F = ⟨S,R⟩, где S — произвольное непустое множество миров, R — произвольное двухместное отношение (граф) достижимости (одного мира из другого).

Далее мы используем понятие «контекста», отличающееся от того, которое ввели ранее в случае логики отношений. Также мы используем в случае модальной логики понятие «формулы» и т. д. Можно было бы каждый раз указывать «формула модальной логики», «контекст модальной логики» и т. д., но надеемся, что для читателей это излишне. В то же время использование одного и того же термина помогает читателю увидеть сходство ситуаций и это полезно для понимания.

Определение 58. (Семантика модальной логики)

Контекст: отображение V , которое каждое имя p отображает в множество миров V (p).

Значение формулы Φ в мире s шкалы F в контексте V обозначается Зн(Φ, s, F, V ).

Значение — это И или Л, определяется оно индуктивно:
Для каждого имени p: Зн(p, s, F, V ) ⇐⇒ s ∈ V (p)
(иначе говоря, Зн(p, s, F, V ) = И ⇐⇒ s ∈ V (p)).
Зн(□(Φ), s, F, V ) = ∧ Зн(Φ, t, F, V ) по всем t, достижимым в F из s (конъюнкция может оказаться бесконечной).
Остальное — как в логике высказываний.

Таким образом, если зафиксировать шкалу, контекст и мир, то значением формулы оказывается И или Л.

Задача 82. Зафиксируем шкалу и контекст и рассмотрим множество миров, в которых данная формула истинна. Какие операции на множествах миров соответствуют связкам логики высказываний, используемым при построении формулы? Как можно описать операцию на множестве миров, отвечающую необходимости?

Определение 59. (Истинность формулы модальной логики, обозначения)

Отношение «формула A истинна в мире s шкалы F в контексте V » обозначается F, s, V ⊨ A.

Формула A истинна в шкале F, обозначение: F ⊨ A, если она истинна в любом мире этой шкалы в любом контексте.

Формула истинна, если она истинна в любой шкале. Обозначение: ⊨ A.

Иногда, чтобы подчеркнуть всеобщую истинность (истинность в любой шкале), вместо «истинна» говорят «общезначима».

В следующем тексте мы опускаем скобки в формулах типа □(A).
Их легко восстановить.

Задача 83. ⊨ □(A → B) → (□A → □B)

Определение 60. (Тавтология)

Тавтология — формула логики высказываний, истинная в любой структуре.

Задача 84. Придумайте способ (алгоритм) выяснения, является ли формула логики высказываний тавтологией.

Множество имен в формуле конечно, причем каждое из них принимает либо И, либо Л в качестве значения. Если для всех комбинаций формула истинна, то она является тавтологией. Если нет, то не является. Таким образом, искомый алгоритм состоит в переборе всех комбинаций значений имен.

Для фиксированной комбинации значений имен вычисление значения формулы происходит индукцией по ее построению. Зная значения составляющих формулу, мы по таблицам для логических связок находим значение составной формулы.

Для того, чтобы установить истинность формулы модальной логики, надо «рассмотреть», «перебрать» бесконечное множество шкал и т. д.

Хорошо бы иметь какой-то способ постепенно получать все истинные формулы. В только что разобранном примере использовались «рассуждения».

Рассматривая различные логические языки, можно пытаться придумать для данного понятия истинности, данной семантики некоторый общий способ рассуждения, позволяющий получать в точности истинные формулы, и «формализовать» его.

Так возникает понятие исчисления. Пример «полуформализованного» исчисления — школьная геометрия. В ней есть аксиомы и правила рассуждения — правила вывода: «рассмотрим все случаи», «предположим противное», . . ..

Определение 61. (Исчисление)

Исчисление — индуктивное определение выводимости: множества выводимых формул. Исчисление задается аксиомами и правилами вывода: все аксиомы считаются выводимыми, правила вывода позволяют получать из выводимых формул выводимые.

Например, определение формулы ранее в нашем курсе было описанием конкретного исчисления. Например, можно считать, что аксиомами являются атомные формулы, а правила вывода — это правила образования составных формул из более простых с помощью скобок, связок и кванторов.

Общее понятие исчисления мы рассмотрим в наших лекциях (см. 123).

Определение 62. (Выводимость в исчислении K)
Индуктивное определение выводимости в исчислении K.
Аксиомы исчисления K.
Подстановки формул вместо имен в тавтологии — выводимы.

Задача 85. Дайте определение подстановки формул вместо имен.

Задача 86. Подстановка формул вместо имен в тавтологию дает истинную формулу модальной логики.

Задача 87. Доказать, что для любых формул A,B:
а) Если F ⊨ A и F ⊨ A → B, то F ⊨ B.
б) Если F ⊨ A, то F ⊨ □A.

Определение 63. Непротиворечивость исчисления — выводимы только истины.

Задача 88. Теорема о непротиворечивости для исчисления K.
Любая выводимая в исчислении K формула модальной логики истинна.

Определение 64. Исчисление полное — все истины выводимы.

Дополнительный материал. Теорема о полноте для K

Мы хотим доказать следующую Теорему о полноте исчисления K:

Задача 89. Теорема о полноте исчисления K
Формула модальной логики K истинна тогда и только тогда, когда она выводима в исчислении K.

Введем обозначение: K ⊢ A означает выводимость формулы A в исчислении K.

План доказательства следующий: мы постараемся построить специальную каноническую шкалу M^K = ⟨S^K,R^K⟩. (Не будем в верхнем индексе использовать особый шрифт для K.))

Эта шкала, как мы установим, обладает следующим замечательным свойством:
M^K ⊨ A ⇔ K ⊢ A
для любой формулы A.

Задача 90. Докажите, что из истинности утверждения (1) следует теорема о полноте исчисления K.

Построение шкалы MK мы начнем с того, что несколько обобщим понятие выводимости в исчислении K и дадим несколько определений:

Определение 65. Если A₁,A₂, . . . ,A_n — конечное множество формул, то мы скажем, что формула B выводима из множества A₁,A₂, . . . ,A_n в исчислении K, если выполнено

K ⊢ (n∧i=1A_i) → B

Формула B выводима из бесконечного множества {Ai} если она выводима из какого-то конечного подмножества {Ai}.

Заметим, что просто выводимость из K и выводимость из пустого множества совпадают.

Определение 66. Конечное множество формул A₁,A₂, . . . ,A_n называется противоречивым если
K ⊢ ¬(n∧i=1Ai).

Бесконечное множество противоречиво, если противоречиво какое-то его конечное подмножество. В противном случае множество называется непротиворечивым.

Непротиворечивое множество формул A полное, если для любой формулы B выполнено B ∈ A или ¬B ∈ A.

Задача 91. Полное множество A замкнуто, то есть, если B выводимо из A, то B ∈ A.

Задача 92. Любое непротиворечивое множество формул A может быть расширено до полного.

Построение шкалы M^K

Множеством миров S^K будет множество всех полных множеств формул исчисления K.

Отношение достижимости R^K определим так, что для s, s′ ∈ S^Kвыполнено
R^K(s, s′) ⇌ {A|□A ∈ s} ⊂ s′.
Для каждого имени p и мира s положим
s ⊨ p ⇌ p ∈ s.
Описание шкалы M^K завершено.

Доказательство теоремы о полноте исчисления K

Задача 93. Для любой формулы A и мира s ∈ S^K выполнено s ⊨ A ⇔ A ∈ s.

Задача 94. Завершите доказательство теоремы о полноте исчисления K 5.1

Семантические комментарии

Ранее для фиксированной шкалы F, мира s и формулы A было определено понятие истинности A в мире s, обозначение: s ⊨ A. В соответствии с нашей терминологией, понятие истинности — семантическое.
Вот еще семантические понятия.

Определение 67. Если формула A истинна в мире s шкалы F, то мы скажем, что s является моделью для формулы A.

Мир является моделью для множества формул, если все формулы множества истинны в этом мире.

Множество формул выполнимо, если для него есть модель.

Формула A следует из множества формул B, если любая модель для B является моделью для A.

Введенные семантические понятия оказываются эквивалентными введенным ранее синтаксическим. Это общая ситуация в математической логике и математике. Выводы позволяют устанавливать истинность и не получать противоречий.

Задача 95. Докажите эквивалентности.
(i) выполнимость ⇔ непротиворечивость,
(ii) следствие ⇔ выводимость.

Сформулируем два простых следствия теоремы полноты:

Задача 96. Следствие 1. Если множество формул выполнимо, то моделью для него является некий мир в шкале M^K.
Следствие 2. (Теорема компактности) Множество формул выполнимо тогда и только тогда, когда выполнимо его любое конечное подмножество.

Для исчисления K теорема компактности не имеет большого значения, но в других логиках она часто занимает центральное место.

Другие модальности, модальные логики и исчисления

В предыдущем дополнительном разделе мы установили, что предложенная Крипке семантика истинности для некоторого множества шкал соответствует описанному понятию выводимости в K. Замечательно, что, как мы увидим далее, меняя класс шкал, можно получать содержательно интересные модальные логики.

Продолжим наше обсуждение модальностей. Оно уже входит в основной курс.

Попытаемся как-то, используя понятие «необходимости», определить «возможность».
Принятое обозначение для возможности — это ◊.

Задача 97. Попытайтесь определить «возможность» в модальной логике «необходимости».

Задача 98. Если потребовать истинности каких-либо не выводимых формул, то класс шкал, где будут истинны еще и эти формулы, сузится.

И обратно, если сужать класс шкал, то класс истинных в шкалах формул может расшириться.