Конечно, мы исходим из того, что вы или где-то уже слышали определение покрытия, или будете исходить из смысла слова «покрыть» в русском языке. В крайнем случае — посмотрите в Википедии или Математической энциклопедии.

Покрытие множества системой множеств — это семейство (другими словами — множество) множеств, объединение которых содержит . Подпокрытием для данного покрытия называется любая часть этого семейства.

Вспомните доказательство Леммы Кёнига.

Предположим противное: нельзя выбрать конечное подпокрытие . Тогда нельзя выбрать конечное подпокрытие окрестности с началом 0, или окрестности с началом 1, поскольку объединение этих окрестностей есть все .

В той окрестности, для которой нет конечного подпокрытия, можно выбрать начало длины 2 следующей окрестности, для которой нет конечного подпокрытия и т. д. Мы получаем бесконечный путь — элемент . Этот элемент покрыт каким-то открытым множеством нашего покрытия, значит он покрыт и какой-то окрестностью, входящей в это открытое множество. Эта окрестность одна содержит все окрестности с более длинными, чем у нее началами, в противоречии с нашим выбором пути.

Конечно, множество покрыто просто семейством своих одноэлементных подмножеств, из которого нельзя выбрать конечного подсемейства.

Открытость множеств нужна, чтобы выбранный бесконечный путь вошел в окрестность из покрытия, раз это окрестность, то она одна покрывает целую окрестность, начало которой — это некоторое начало бесконечного пути. А при этом путь выбран так, что всякая такая окрестность не покрыта конечным подпокрытием.

Каковы начала последовательностей, не лежащих в данной окрестности?

Из определения мы знаем, что окрестность — это множество всех бесконечных последовательностей, продолжающих данную конечную последовательность , длины .

Дополнение к окрестности — это все последовательности, которые продолжают последовательности длины , отличающиеся от . Последовательностей такой длины — конечное число, для каждой последовательности такой длины множество ее продолжений — окрестность.

Объединение любого семейства окрестностей — открыто.

Таким образом, дополнение к окрестности открыто.

Воспользуйтесь тем, что дополнение к пересечению любого семейства множеств — это объединение дополнений к ним и наоборот, дополнение к объединению — это пересечение дополнений.

Если Вы не знаете этих фактов, докажите их.

Мы доказали, что для любого покрытия открытыми множествами существует конечное подпокрытие. Рассмотрим произвольное семейство замкнутых подмножеств . Пусть его пересечение — пусто.

Для каждого из этих замкнутых множеств возьмем его дополнение; оно — открыто. Объединение этих дополнений — все . Как мы установили выше, из этого семейства открытых множеств можно выбрать конечное подсемейство, которое уже покрывает .

Вернемся к дополнению этих дополнений, получим конечное семейство замкнутых множеств из числа исходных с пустым пересечением. Это противоречит исходному предположению из условия задачи.

Луч (включая его начало) — замкнут.

Семейство всех лучей вида , начинающихся с натурального , имеет пустое пересечение, а любое его конечное подсемейство — непустое.

Обобщить частный случай, рассмотренный выше.

Будем вести доказательство от противного. Предположим, что пересечение пустое. Тогда рассмотрим дополнения к замкнутым множествам. Они образуют покрытие всего семейства и они открыты, а значит, из них можно выбрать конечное подпокрытие. Получается, что конечное пересечение дополнений к открытым множествам, которые образуют данное покрытие, является пустым. Мы пришли к противоречию.

Высказывание содержит лишь конечное число атомов — элементов сигнатуры.

Пусть номера элементов сигнатуры, входящих в высказывание, ограничены числом n. Тогда истинность данной формулы на бесконечной последовательности из определяется начальным отрезком длины n этой последовательности. Для каждого такого отрезка соответствующее подмножество — это окрестность. Таким образом, множество элементов , на которых данное высказывание истинно — объединение окрестностей.

Ясно, что множество, на котором высказывание ложно — это множество, где отрицание этого высказывания истинно. Поэтому и множество последовательностей, на которых высказывание ложно, также открыто.

Посмотрите, где высказывание ложно.

Множество, на котором высказывание ложно — открытое множество. Значит, множество, на котором высказывание истинно, замкнуто, т. к. является дополнением к открытому.

Выполнимое высказывание: . Оно выполнимо на каждой последовательности, начинающейся с .

Не выполнимое высказывание: . На любой последовательности значением этого высказывания будет Л.

Воспользуйтесь теоремой компактности для .

Как мы доказали, множество последовательностей из , на которых истинно данное высказывание — замкнуто. Рассмотрим такое множество для каждого высказывания из семейства. Тогда множество последовательностей, на которых выполняются все элементы семейства — это пересечение множеств, получаемых для каждого элемента семейства. Воспользуемся теоремой компактности для .
Получаем утверждение теоремы.

Какие значения в модели должны получить элементы из У и О? Как обычно, если это неясно, можете переходить к чтению решения.

Если бы множества У и О пересекались, то утверждения из пересечения в модели теории были бы и ложными, и истинными одновременно, а это значит, что такой модели не существует.

Для атомных высказываний об объектах теории.

В теории могут иметься атомные высказывания. Все они не содержат переменных, но если они — не нульместные, то содержат имена объектов. Строя модель, нам придется эту информацию использовать. Мы сразу положим, что значения участвующих в этих атомных высказываниях отношений на объектах (совпадающих со своими именами) будет И или Л, в зависимости от того, где именно лежит соответствующее атомное высказывание.

Информацию, необходимую для построения модели, мы будем извлекать из теории (больше ее брать неоткуда). Информацией, в конечном счете, будут атомные высказывания об истинности тех или иных строящихся отношений на тех или иных объектах строящейся структуры. Эти высказывания будут возникать в ходе разложения составных высказываний теории на более простые формулы. При этом мы будем заботиться о сохранении выполнимости — о том, чтобы не возникало противоречий. Для этого некоторые из возникающих формул мы будем помещать в У, некоторые в О. Одновременно у нас может возникнуть потребность в расширении универсума — будем добавлять новые имена объектов (а сами объекты будут совпадать с этими именами).

Тут нам пригодится, что мы заранее заготовили У и О.
Не забудьте про локальную выполнимость.

Если высказывание взяли из У, тогда A добавляем в О, и наоборот.

Локальная выполнимость проверяется тривиальным разбором случаев.

Почему формула не могла входить одновременно в У и О?

Что нужно взять в качестве значения , если ∃xA(x) — из У?

Пусть формула лежит в У. Возьмем любую конечную часть теории, получившейся на данном шаге. Если в У этой части нет , утверждение очевидно. Если в У этой части есть , заменим эту формулу в У на , получившаяся теория имеет модель.

В этой модели выполнено . Значит, в ее универсуме есть объект, для которого — истинно, возьмем этот объект в качестве значения для . Это и будет моделью для данной конечной части получившейся теории.

Надо разветвить последовательность построения теории.
Последовательность наша станет (ориентированным) деревом и у нас будет два варианта следующей теории:

Переходя по одной ветви дерева, помещаем в У.

Переходя по другой ветви дерева, помещаем в У.

Проверьте сохранение локальной выполнимости хотя бы по одной из ветвей.

Если высказывание из О, то добавляем и B в О и далее очевидно.

Пусть высказывание взято из У и нам даны две конечных части теории. Выбросим из этих конечных частей и , объединим и добавим . Получилась конечная часть теории предыдущего шага. Возьмем ее модель. Посмотрим, что в ней выполнено или и выберем соответствующую ветвь. Модель остается прежней. Таким образом, теория осталась локально выполнимой хотя бы по одной ветви, но она может быть локально выполнимой и по обеим ветвям.

Подумайте, в какой ситуации может возникнуть такое пересечение.

Да, могут. Это может получиться, например, на одной из ветвей дизъюнкции. В таком случае мы просто обрываем построение в этой вершине, из нее не выходит ни одного ребра, это — тупик.

Наше построение гарантирует, что если исходная теория локально выполнима, то хотя бы на одном пути в дереве все теории локально выполнимы.

Если всякий путь в дереве заканчивается тупиком, то теория не была локально выполнимой. В самом деле, теория в тупиковой вершине очевидно не локально выполнима. Значит такова и исходная теория.

Пусть теперь у нас не все пути заканчиваются тупиками. Тогда дерево может оказаться бесконечным, например, если в У исходной теории содержалось бесконечное число дизъюнкций.

Сколько ребер может выходить в нашем дереве из вершины?

По лемме Кёнига в бесконечном дереве с конечным ветвлением есть бесконечный путь.

Что нам нужно положить в универсум?

Как мы уже поняли, в нашем дереве есть путь, не заканчивающийся тупиком (может быть и много таких). Идя именно по нему, мы можем надеяться построить искомую модель.

В начальной точке этого пути стоит исходная теория. В этой теории уже встречались имена объектов. Мы договорились ранее поместить эти имена в универсум и считать их значениями самих себя.

На пути могли появиться и новые имена. Поступим с ними точно так же. Поместим их в универсум и будем считать их собственными значениями.

Как использовать появляющиеся на пути атомные формулы?

Заметим, что каждая теория, возникающая на нашем пути (являющаяся его вершиной), расширяет предыдущую. Естественно, как мы уже делали раньше в разных ситуациях, построить объединение всех этих теорий, то есть объединение их У и, конечно, отдельно, объединение всех О. Будем называть это объединение расширенной теорией.

Действуйте индукцией по построению (определению) формулы.

Пусть дана формула из теории, будем доказывать ее выполнимость (истинность, если она входит в У, и ложность, если она — из О) индукцией по построению. Формула, поскольку она входит в теорию, появилась в ней на каком-то шаге.

Если формула атомная, то она выполнена, в силу определения структуры. Если она не атомная, то ее выполненность должна вытекать из выполненности более простых формул, получаемых из нее. Проверим все случаи.

И здесь возникает трудность! Если наша формула имеет вид и лежит в О, тогда все, что у нас есть, это опровержения для всех , которые были в нашем распоряжении к этому моменту. Но в дальнейшем у нас могли появиться новые имена объектов, когда мы рассматривали совершенно другие формулы с кванторами.

Обратите внимание, что мы пока никак не фиксировали процедуры выбора очередной формулы, для которой мы включали в следующую вершину более простые формулы.

Попробуйте еще раз вернуться в построении пути к формуле с квантором.

Итак, чтобы доказать выполнимость расширенной по пути теории, а значит — и исходной, нам достаточно обеспечить, чтобы на пути встречались все формулы теории, а формулы, начинающиеся с квантора существования, попавшие в О, еще и бесконечное количество раз. Тогда, пытаясь установить ложность формулы вида , мы сможем воспользоваться тем, что в расширенную теорию вошли все формулы вида .

Чтобы не разбираться с разными видами формул, а заодно и с тем, входят ли они в компоненты теории, можно использовать какую-нибудь процедуру перебора всех вообще формул нашей сигнатуры, такую, что обращение к каждой формуле будет происходить бесконечное количество раз. Тогда, если очередная формула нам не интересна — не входит ни в У, ни в О, то мы ее не рассматриваем, переходим к следующей формуле.

Нужную нам процедуру построить несложно. Можно, например, пронумеровать все формулы натуральными числами, а потом последовательно перебирать все пары номер формулы, номер обращения. В результате мы обратимся к каждой формуле бесконечное число раз.

Пусть теперь высказывание лежит в О. На выбранном пути мы эту формулу рассматривали бесконечное число раз. Пусть некоторый объект c лежит в нашем универсуме. Значит, имя c появилось в какой-то момент при рассмотрении некоторой формулы на нашем пути. Уже после этого мы рассматривали очередной раз высказывание , и в этот момент мы добавили в О высказывание . Таким образом, высказывание действительно ложно в построенной модели.

С остальными случаями ситуация проще.

Просмотрите построение модели еще раз.

Теорема компактности для логики отношений. Счётный случай. Если любая конечная часть счётной теории имеет модель, то и вся теория имеет счётную модель.

Утверждение вытекает из процедуры перебора формул, нашего построения дерева, выбора пути в дереве, доказанного сохранения локальной выполнимости по пути и индукции по построению формул. Отметим еще раз, что мы при построении дерева и выборе пути в нем использовали только локальную выполнимость, а модель построили для всей теории, даже расширенной, но значит, и для исходной.

Определение отношения эквивалентности мы помним. Замену равного на равное достаточно сформулировать для атомных формул в данной сигнатуре.

Свойства эквивалентности:

∀u(u = u) — рефлексивность,

∀u, v(u = v → v = u) — симметричность,

∀u, v,w(u = v ∧ v = w → u = w) — транзитивность,

Свойства замены равного равным:

Для всякого имени отношения A(x1, . . . , xk)
∀x1, . . . , xk, y1, . . . , yk(∧ i=1...k xi = yi ∧ A(x1, . . . , xk) → A(y1, . . . , yk)).

Очевидно — простая проверка истинности свойств.

Возьмите любую модель и постройте новую — в качестве ее элементов возьмите классы эквивалентности для отношения, имя которого — «равенство».

Пусть M — некоторая модель этой выполнимой теории. Тогда, в силу наличия в теории свойств равенства группы 1, это отношение действительно разбивает универсум M на классы. Объявим множество этих классов универсумом новой структуры.

Определим значения в новой структуре каждого имени отношения из сигнатуры M, как значение того же имени в M на любых представителях классов. Ясно, что в силу свойства равенства из группы 2, такое определение — «корректно», то есть если мы заменим одного представителя другим, нам не потребуется менять значение имени отношения.

Теперь значением равенства является совпадение элементов — мы так определили элементы и значения имен отношений.

Значение всякой атомной формулы в любом контексте по нашему определению есть ее значение на представителях классов.

Далее аналогичное утверждение для любой формулы доказывается, конечно, индукцией по построению формулы; по ходу дела мы переходим от контекста в построенной структуру к контексту, в котором участвуют представители классов эквивалентности.

Будет ли теория выполнимой?

По теореме компактности теория выполнима, по предыдущей задаче у нее есть нормальная модель.

Мы уже взяли в качестве примера . Рассмотрите структуры, в которых число элементов универсума меньше или равно , и те, где элементов больше .

Исходя из нашего определения истинности, для данного универсума нам нужно рассмотреть всевозможные контексты, где значениями взяты какие-то элементы универсума, после чего выяснить, любое ли значение y совпадет с одним из этих значений . Ясно, что это так, как раз когда в универсуме не больше различных элементов. Иначе, в силу нормальности структуры, значение не совпадет со значением одного из при некотором . Если в нормальной структуре больше элементов, то при любом выборе найдется y отличное от каждого из них.

Что будет, если в теорию поместить всегда ложное высказывание?

Для любой теории, у которой нет моделей, любое высказывание является её следствием, так как оно выполняется в любой модели теории.

Разговоры о конечности наводят на идею использовать теорему компактности.

Предположим противное, существует высказывание, являющееся следствием теории и не являющееся следствием никакой ее конечной части.

Для любой конечной части теории существует ее модель, где наше высказывание ложно. То есть модель есть у всякой конечной части с добавленным отрицанием этого высказывания.

По теореме компактности, модель есть и у всей теории с добавленным отрицанием этого высказывания. Значит высказывание не является ее следствием. Противоречие.

Будем строить модель, как мы делали в доказательстве теоремы о построении модели для теории из двух компонентов. Поместим в О высказывание, о котором мы хотим выяснить, является ли оно следствием, а сообщаемые элементы теории будем помещать в У.

В нашем доказательстве теоремы компактности мы в каждый (конечно, конечный) момент времени использовали конечное количество высказываний из теории. Все высказывания будут постепенно поступать от оракула.

Как и предлагает подсказка, поместим данное высказывание (потенциальное следствие) в О.

Если процесс будет продолжаться бесконечно долго, это означает, что может быть построена модель теории, где вся теория выполнена, а — ложно. Значит — не следствие.

Если процесс завершится на конечном шаге, то модели для теории, где — ложно, не существует. Значит — следствие и мы это узнаем за конечное время.

Нужно переделать алгоритм из предыдущей задачи так, чтобы он всегда заканчивал работу, пусть даже и не выдавая новых следствий, а предлагая какое-нибудь старое.

Выберем в качестве оракула из предыдущей задачи функцию, задаваемую нашим алгоритмом. Среди следствий нашей теории зафиксируем какое-то одно , например , где — произвольное высказывание.

Требуемый алгоритм будет сначала перерабатывать любое заданное натуральное число в пару из высказывания и натуральное число , которое будет играть роль времени (числа шагов). После этого алгоритм начинает действовать в точности, как алгоритм в предыдущей задаче: если за время выяснилось, что — следствие теории, то выдается как результат работы нашего алгоритма. Если за время это не выяснилось, то результатом является .

Посмотрите на предыдущую задачу.

Теорема является очевидным следствием предыдущей задачи. Конечно, следствия из пустой теории — это то же, что следствия из какой-то тавтологии. Алгоритм, перечисляющий теорию, конечно, не нужен, но мы можем взять алгоритм, все время выдающий эту тавтологию.