Ступень 6 | Построение модели теории в логике отношений

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Ступень 6. Построение модели теории в логике отношений

В этой ступени есть две части, не зависящие одна от другой. Одна часть (первые два раздела) относится к логике высказываний, другая — к логике отношений. Часть, относящаяся к логике высказываний, имеет ясный топологический смысл, доказательство основной теоремы
там несложно, сама теорема внутри курса не используется. Напротив, теорема для логики отношений идейно сложнее и в дальнейшем будет применяться неоднократно.

Общая для двух частей большая идея состоит в том, что поведение бесконечной системы определяется поведением конечных ее частей. Смежная с этой большая идея состоит в том, что бесконечный математический объект задается своим конечным описанием.

Теорема компактности в топологии

Через Bω будем обозначать множество бесконечных двоичных последовательностей. Можно считать, что это — последовательности нулей и единиц, нам будет далее удобно считать, что это — последовательность логических значений, например, И и Л.

Определение 68. Окрестность — множество всех бесконечных последовательностей, продолжающих данную конечную последовательность — начало окрестности.

Определение 69. Открытое множество — объединение какого-то множества окрестностей.

Задача 99. Дать определение покрытия множества системой множеств.

Задача 100. Из всякого покрытия всего Bω открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие.

Задача 101. Где мы использовали в доказательстве открытость множеств в покрытии? Можно ли это требование опустить и говорить о покрытии любыми множествами?

Определение 70. Множество называется замкнутым, если оно является дополнением к открытому множеству.

Задача 102. Дополнение к окрестности открыто.

Задача 103. (Теорема компактности для B^ω) Пусть дано семейство замкнутых подмножеств Bω и пересечение любого конечного подсемейства этого семейства — не пусто. Тогда и пересечение всего семейства не пусто.

Задача 104. Приведите пример семейства замкнутых множеств действительных чисел, для которого пересечение всякого конечного семейства множеств не пусто, а пересечение всего семейства — пусто.

Определение 71. Топологическое пространство называется компактным, если из любого его покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие.

Задача 105. (Теорема компактности в топологии) Пусть дано семейство замкнутых множеств компактного пространства. Если всякое конечное подсемейство имеет непустое пересечение, то и пересечении всех множеств семейства не пусто.

Теорема компактности в логике высказываний

Напомним, что язык логики высказываний — это частный случай языка логики отношений. В нем все имена отношений — нульместные, имен объектов, переменных и кванторов — нет. Будем считать, что имена нульместных отношений образуют счётную последовательность A₁,A₂, . . .. Атомными формулами, естественно, являются в точности члены этой последова-
тельности.

Значение каждого из этих имен A₁,A₂, . . . в заданной структуре — это И или Л. Очевидно, что и значение каждой атомной формулы, и вообще любой формулы определяется последовательностью значений всех A₁, A₂, …и от того, какой мы взяли универсум для структуры, не зависит.

Далее в этом разделе все формулы — это формулы логики высказываний, то есть — высказывания.

Определение 72. Значение высказывания на элементе a₁a₂... ∈ B^ω — это значение этого высказывания в любой структуре, где в качестве значений A₁, A₂, …взяты a₁, a₂, ... .

Задача 106. Множество элементов из B^ω, на котором данное высказывание истинно — открытое. То же — для множества элементов, на котором высказывание ложно.

Задача 107. Множество, на котором высказывание истинно, это замкнутое подмножество B^ω.

Определение 73. Семейство высказываний логики высказываний выполнимо, если существует последовательность, на которой все высказывания семейства истинны.

Задача 108. Приведите примеры выполнимых и не выполнимых множеств высказываний.

Задача 109. (Теорема компактности для логики высказываний) Пусть дано семейство высказываний. Если всякое его конечное подсемейство выполнимо, то и все семейство выполнимо.

Теорема компактности для логики отношений

Ранее в этой лекции мы рассматривали логику высказываний — частный случай логики отношений, где все отношения нульместные. В этой ситуации имена объектов, переменные и кванторы не используются.

Теперь мы возвращаемся к общей ситуации логики отношений.

Напомним ряд определений из Лекции 3, где мы начали изучать логику отношений:

Определение 74. Высказывание логики отношений — формула без свободных переменных.

Таким образом, любая формула логики высказываний является высказыванием логики отношений, но, конечно, не любое высказывание логики отношений является формулой логики высказываний.

Понятие значения формулы в заданной структуре определяется индуктивно. Мы это сделали в третьей лекции. Значением формулы с n свободными переменными является n-местное отношение на универсуме структуры. В заданной структуре значение высказывания — И или Л.

Определение 75. Семейство высказываний T выполнимо, если существует структура S, где все высказывания семейства истинны. Эта структура называется моделью семейства.
Обозначение: S ⊨ T.

Задача 110. (Предварительный вариант теоремы компактности для логики отношений) Пусть дано семейство высказываний логики отношений. Если всякое его конечное подсемейство выполнимо, то и всё семейство выполнимо.

Решению этой задачи (доказательству теоремы компактности) посвящена основная часть настоящей лекции. Формулировку теоремы, возможно, уточним по ходу дела, если будет что-то не получаться.

В математической логике, говоря о соотношении между множествами высказываний и структурами, произвольное множество высказываний часто называют теорией, множество всех высказываний, истинных в какой-то структуре — теорией этой структуры.

Итак, наша цель — попытаться построить модель для некоторой теории, такой, что всякая ее конечная часть модель имеет.

Важные комментарии.

Последовательность задач, которые приведут нас к построению модели, составлена так, что наше представление о модели, процессе ее построения и нужных для этого свойствах теории будут проясняться постепенно, как обычно и бывает, когда математик доказывает нетривиальную теорему. Полное представление о процессе и результате построения и точную формулировку теоремы мы получим в конце.

Модель будем строить постепенно, определяя ее универсум и значения имен сигнатуры. В ходе построения будем стремиться, чтобы высказывания теории оказались истинными в строящейся структуре. Однако в ходе построения нам будет полезно добиваться еще и ложности каких-то высказываний. Для удобства мы расширяем наше понятие теории и на протяжении данной главы будем исходить из следующего «технического» определения.

Определение 76. Теория — это произвольная пара множеств высказываний ⟨Утверждаемое, Опровергаемое⟩, будем их обозначать также У и О.

В ходе построения модели мы будем стремиться к тому, чтобы высказывания из «Утверждаемого» оказались истинными, а из «Опровергаемого» — ложными.

Будем считать, что из логических связок в языке есть только ¬, ∃, ∨. Другие логические связки можно выразить через эти.

Определения, которые мы давали для теорий в обычном смысле, естественно переносятся на теории в «техническом» смысле доказательства данной главы. Только так мы и будем понимать слово «теория», доказывая теорему компактности для логики отношений. В следующей задаче попробуйте дать определение, исходя из предыдущих определений и вашего понимания терминов «Утверждаемое», «Опровергаемое».

Задача 111. Дайте определения модели теории и выполнимой теории, для теории в новом смысле, обобщающие определения, данные раньше, на лекции, где вводилась логика отношений. (Эти прежние определения мы будем использовать вне доказательства.)

Определение 77. Теория выполнена в структуре, если в этой структуре истинны все высказывания из У (утверждений) и ложны из О (опровержений). Модель теории — это структура, в которой теория выполнена. Выполнимая теория — это теория, для которой существует модель.

Определение 78. Теория локально выполнима, если у любой конечной части этой теории есть модель. ■

Задача 112. Для (локально) выполнимой теории У и О не пересекаются.

Задача 113. Для каких имен отношений и каких имен объектов мы можем сразу указать значение соответствующего отношения на соответствующих объектах?

В теории могут иметься атомные высказывания. Все они не содержат переменных, но если они — не нульместные, то содержат имена объектов. Строя модель, нам придется эту информацию использовать. Мы сразу положим, что значения участвующих в этих атомных высказываниях отношений на объектах (совпадающих со своими именами) будет И или Л, в зависимости от того, где именно лежит соответствующее атомное высказывание.

Информацию, необходимую для построения модели, мы будем извлекать из теории (больше ее брать неоткуда). Информацией, в конечном счете, будут атомные высказывания об истинности тех или иных строящихся отношений на тех или иных объектах строящейся структуры. Эти высказывания будут возникать в ходе разложения составных высказываний теории на более простые формулы. При этом мы будем заботиться о сохранении выполнимости — о том, чтобы не возникало противоречий. Для этого некоторые из возникающих формул мы будем помещать в У, некоторые в О. Одновременно у нас может возникнуть потребность в расширении универсума — будем добавлять новые имена объектов (а сами объекты будут совпадать с этими именами). ■

Вот описание плана расширения теории; мы будем его осуществлять (и понимать) постепенно:

Строим последовательность расширений: каждый элемент последовательности — теория, расширяющая предыдущую:

– Берем из предыдущей составное высказывание, выделяем его составляющие (какое высказывание брать — обсудим ближе к концу построения).
– Добавляем в теорию более простые высказывания, получаемые из составного, решаем, что положить в У, что — в О. Возникает следующая теория.
– Действуем так, чтобы получаемая теория на каждом шаге оставалась локально выполнимой, если таковой была предыдущая теория.

Нам могут потребоваться новые элементы универсума. Расширяем универсум.
Полученные новые атомные высказывания дают информацию значениях имен отношений, в том числе — на новых элемента универсума в требуемой модели.
Строя расширения теории, получаем все больше информации для строящейся модели. Саму модель полностью определим как результат всего бесконечного построения.
Если мы начали с локально выполнимой теории, то процесс будет бесконечным и ведет к построению модели.
Если теория не была выполнимой, то процесс завершится, зайдет в тупик на конечном шаге, следующего шага сделать не удастся.

Случаи, которые нужно рассматривать при построении очередной
теории, соответствуют разным видам составного высказывания, которое мы берем, и тому, откуда мы его берем:

Взяли высказывание из У или О?
Составное высказывание — это:

– ¬A,
– ∃xA(x),
– A ∨ B ?

Здесь использовано обозначение A(x), в котором явно выделена переменная x, это связано с тем, что далее мы, вместо свободны вхождений переменной x в формулу A будем подставлять имя объекта c.

В доказательстве мы будем добавлять какие-то более простые формулы в теорию; будем указывать — какие, и куда добавляем — в У или О.

Заметьте, что в наших формулах не хватает скобок, о которых мы договаривались, когда определяли синтаксис языка, но вы легко скобки восстановите.

Задача 114. Составное высказывание — это:
¬A

Случаи:
Взяли высказывание из У или О?

Что (более простое) и куда добавляем?
Проверьте сохранение локальной выполнимости.

Задача 115. Составное высказывание — это:
∃xA(x).

Случаи:
Высказывание из У или О?

Что (более простое) и куда добавляем?
∃xA(x) — из О ⇒ A(c) добавляем в О, для всех имен объектов c из предыдущей теории;

∃xA(x) — из У ⇒ A(c) добавляем в У, для одного нового имени c (расширяем язык теории).

Проверьте сохранение локальной выполнимости.

Задача 116. Составное высказывание — это:
A ∨ B
Что делать, чтобы сохранить локальную выполнимость?
A ∨ B — из О ⇒ A и B добавляем в О
A ∨ B — из У ⇒ мы заранее не знаем, добавить в У высказывание A или высказывание B. Если мы добавим оба, то непонятно, как нам удастся сохранить локальную выполнимость.

Задача 117. Могут ли в какой-то вершине У и О пересечься? Что делать тогда?

Будем называть вершину дерева тупиком, если из нее не выходит ребер.

Задача 118. Что можно сказать о локальной выполнимости исходной теории, если каждый путь заканчивается тупиком?

Задача 119. Покажите, что если дерево бесконечно, то в нем есть бесконечный путь, начинающийся в корне.

Задача 120. Как построить универсум модели?

Задача 121. Как достроить структуру, в которой выполнена наша теория — определить значения элементов сигнатуры на построенном универсуме?

Заметим, что каждая теория, возникающая на нашем пути (являющаяся его вершиной), расширяет предыдущую. Естественно, как мы уже делали раньше в разных ситуациях, построить объединение всех этих теорий, то есть объединение их У и, конечно, отдельно, объединение всех О. Будем называть это объединение расширенной теорией.

Поскольку мы строим модель теории, то для каждой атомной формулы в У и О нам нужно на объектах, имена которых входят в формулу (а имена совпадают с объектами), определить отношение, имя которого входит в формулу. Конечно, если формула входила в У, то это отношение будет истинным, если входила в О, то оно будет ложным. Формула не могла входить и в У, и в О, поскольку наш путь не ведет в тупик. Если же атомное высказывание не входит ни в У, ни в О, то его значе ние можно было бы определить как угодно. Давайте считать, что это Л.

Итак, у нас есть путь, на котором сохранялась локальная выполнимость, есть теория, объединяющая все теории этого пути, есть структура: универсум и значения всех элементов сигнатуры на некоторых наборах элементов универсума, возможно, не на всех. Прежде, чем определить эти значения на всех наборах, давайте попытаемся доказать выполнимость нашей теории.

Задача 122. Попытайтесь провести доказательство того, что построенная структура является моделью расширенной теории. Не возникает ли трудностей?

Задача 123. Как все-таки доказать выполнимость построенной теории? Как преодолеть обнаруженную трудность?

Итак, чтобы доказать выполнимость расширенной по пути теории, а значит — и исходной, нам достаточно обеспечить, чтобы на пути встречались все формулы теории, а формулы, начинающиеся с квантора существования, попавшие в О, еще и бесконечное количество раз. Тогда, пытаясь установить ложность формулы вида ∃xA(x), мы сможем воспользоваться тем, что в расширенную теорию вошли все формулы вида A(c).

Чтобы не разбираться с разными видами формул, а заодно и с тем, входят ли они в компоненты теории, можно использовать какую-нибудь процедуру перебора всех вообще формул нашей сигнатуры, такую, что обращение к каждой формуле будет происходить бесконечное количество раз. Тогда, если очередная формула нам не интересна — не входит ни в У, ни в О, то мы ее не рассматриваем, переходим к следующей формуле.

Нужную нам процедуру построить несложно. Можно, например, пронумеровать все формулы натуральными числами, а потом последовательно перебирать все пары ⟨ номер формулы, номер обращения⟩. В результате мы обратимся к каждой формуле бесконечное число раз.

Пусть теперь высказывание ∃xA(x) лежит в О. На выбранном пути мы эту формулу рассматривали бесконечное число раз. Пусть некоторый объект c лежит в нашем универсуме. Значит, имя c появилось в какой-то момент при рассмотрении некоторой формулы на нашем пути. Уже после этого мы рассматривали очередной раз высказывание ∃xA(x), и в этот момент мы добавили в О высказывание A(c). Таким образом, высказывание ∃xA(x) действительно ложно в построенной модели.

С остальными случаями ситуация проще.

Задача 124. Сформулируйте и докажите теорему компактности для логики отношений.

Теорема компактности для логики отношений. Счётный случай. Если любая конечная часть счётной теории имеет модель, то и вся теория имеет счётную модель.

Утверждение вытекает из процедуры перебора формул, нашего построения дерева, выбора пути в дереве, доказанного сохранения локальной выполнимости по пути и индукции по построению формул. Отметим еще раз, что мы при построении дерева и выборе пути в нем использовали только локальную выполнимость, а модель построили для всей теории, даже расширенной, но значит, и для исходной.

Видим, что доказали мы теорему для ограниченного класса теорий — счётных, тех, где сигнатура и множество высказываний — счётны. Сам процесс построения состоял из счётного числа шагов, в ходе которых нам удалось обращаться ко всем высказываниям теории (и даже — по многу раз). Но для этих теорий доказали ее в более сильной форме — установили существование не любой модели, а даже счётной.

Оказывается, теорема компактности верна и для любых теорий, в частности, с несчётными языками. Такие языки могут возникать, если мы, например, хотим рассматривать имена всех действительных чисел и т. п.

(Теорема Мальцева: теорема компактности для логики отношений; общий случай)

Задача 125. Если любая конечная часть теории имеет модель, то и вся теория имеет модель.
Конечно, и модель здесь может оказаться несчётной.

Доказательство этой теоремы является дополнительным материалом. В тексте этот материал идет в разделе 8.4. Мальцев ее доказал, используя трансфинитную индукцию, и использовал для получения важных утверждений в теории групп.

Равенство. Нормальные структуры

В структуре полезно иметь среди двухместных отношений совпадение (одинаковость) элементов. Удобно для этого включить в сигнатуру имя = — читается «равенство», «равно».

Можно ли для той или иной теории, включив в ее состав какие-то высказывания, добиться, чтобы в любой модели теории значением имени = было совпадение?

Легко понять, что добиться такого нельзя. Действительно, взяв любую теорию, любую модель и любой элемент универсума, можно добавить к универсуму еще один элемент, «неотличимый» от взятого — такой, что он находится в отношении = со взятым, а в любом другом отношении два рассматриваемых элемента взаимозаменимы.

Определение 79. Свойствами равенства называются следующие высказывания в языке с любой сигнатурой, содержащей равенство:
1. Свойства равенства, как отношения эквивалентности.
2. Свойства, связывающие равенство с другими отношениями структуры (равное можно заменить равным).

Задача 126. Выпишите эти свойства в виде высказываний логики отношений.

Определение 80. Теория, в сигнатуре которой есть =, и она содержит все свойства равенства, называется теорией с равенством.

Определение 81. Если в сигнатуре структуры есть символ =, а его значение — это совпадение элементов, то структура — нормальная.

Задача 127. Нормальная структура является моделью теории с равенством.

Задача 128. У всякой выполнимой теории с равенством есть нормальная модель.

Задача 129. Теорема компактности для нормальных моделей. Пусть всякая конечная часть теории с равенством имеет нормальную модель, тогда и вся теория имеет нормальную модель.

Задача 130. Пусть сигнатура содержит только =. Каковы модели теории, состоящей из одной формулы:
∃x1, ..., xn∀y(y = x1 ∨ ... ∨ y = xn) ?
(Здесь n фиксировано, например, n = 6.)

Cледствия теоремы компактности

Как можно ожидать, в обычно используемой формулировке Теоремы компактности под теорией подразумевается только множество У — высказываний, которые должны выполниться в модели, а множество О — пусто. Конечно, этот вариант теоремы компактности — частный случай нашей формулировки.

Определение 82. Высказывание следует из теории (другими словами — является следствием из нее), если оно истинно во всякой модели этой теории.

Следующие задачи — это, фактически, упражнения на понимание определений, показывающие естественность введенных понятий.

Задача 131. Приведите пример теории и высказывания, которое истинно в одних моделях этой теории и ложно в других.

Задача 132. Приведите пример теории, у которой нет моделей. Что является множеством ее следствий?

Задача 133. Если высказывание является следствием теории, то оно является следствием некоторой конечной части этой теории.

Задача 134. Теорема о проверке следствий. Пусть есть функция, определенная на натуральном ряде, множество значений которой совпадает с некоторой теорией. Тогда существует алгоритм, который, используя эту функцию, для каждого высказывания определяет за конечное время, что оно является следствием теории, или работает бесконечно, если оно следствием не является.

Задача 135. Теорема о перечислимости следствий. Если существует алгоритм, перечисляющий элементы теории, то существует и алгоритм, перечисляющий все следствия этой теории.

Выберем в качестве оракула из предыдущей задачи функцию, задаваемую нашим алгоритмом. Среди следствий нашей теории зафиксируем какое-то одно C, например B∨¬B, где B — произвольное высказывание.

Требуемый алгоритм будет сначала перерабатывать любое заданное натуральное число в пару из высказывания A и натуральное число t, которое будет играть роль времени (числа шагов). После этого алгоритм начинает действовать в точности, как алгоритм в предыдущей задаче: если за время t выяснилось, что A — следствие теории, то A выдается как результат работы нашего алгоритма. Если за время t это не выяснилось, то результатом является C.

Наше решение, конечно, является просто примером общей конструкции алгоритма из теории алгоритмов, которую мы будем рассматривать дальше.

Среди высказываний логики отношений важное место занимают высказывания, которые верны в любой структуре. Мы уже упоминали, скажем B ∨ ¬B, где B — произвольное высказывание. Их можно называть истинами или тавтологиями логики отношений, тавтологии логики высказываний — это их частный случай. Иногда их называют также общезначимыми высказываниями. Из определения сразу вытекает, что истина следует из любой теории, в частности — из пустой.

Определение 83. Истина или общезначимое высказывание логики отношений — то, что выполнено в любой модели пустой теории.

Следующая теорема является очевидным следствием предыдущей задачи. Конечно, следствия из пустой теории — это то же, что следствия из какой-то тавтологии. Алгоритм, перечисляющий теорию, конечно, не нужен, но мы можем взять алгоритм, все время выдающий эту тавтологию.

Задача 136. Теорема о полноте для логики отношений (слабая версия) Истины логики отношений перечислимы.

Теорема является очевидным следствием предыдущей задачи. Конечно, следствия из пустой теории — это то же, что следствия из какой-то тавтологии. Алгоритм, перечисляющий теорию, конечно, не нужен, но мы можем взять алгоритм, все время выдающий эту тавтологию.

Сейчас стоит вспомнить о системе вывода, которую мы использовали для модальной логики и доказали там теорему о полноте. Для логики отношений математик в своей работе также использует некоторую неформальную систему вывода. Ее можно описать формально.

Это будет сделано в одной из следующих глав, где мы попытаемся описать все математические теоремы в терминах выводимости в некотором исчислении, включающем содержательные аксиомы теории множеств и некоторую «логическую часть». Эта логическая часть — система вывода для логики отношений соответствует нашим интуитивным соображениям и часто теорема о полноте для логики отношений доказывается в виде эквивалентности следствия в этой логике и выводимости в этом исчислении.

Однако, в то время как для модальной логики то или иное исчисление дает некоторое содержательное представление о том, что мы хотим получить, для логики отношений выводимость представляет собой важное, но содержательно тривиальное понятие. Поэтому мы, вместо обсуждения конкретных деталей конкретного понятия выводимости, используем только перечислимость множества истин — существование какого-то перечисляющего алгоритма. В доказательстве же мы применяем теорему компактности, важную саму по себе. При этом из выводимости сразу получается перечислимость. В одной из следующих глав мы будем рассматривать общее понятие выводимости.