Ступень 9 | Полные теории

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Ступень 9. Полные теории

9.1 Определения и первые примеры. ω-категоричность
9.2 Исследование теорий и
9.3 Пример ω-категоричной теории
9.4 Пример полной не ω-категоричной теории
9.4.1 Строение моделей
9.4.2 Обогащение сигнатуры сложением, добавление бесконечного элемента; большая теория. Строение моделей; большая модель
9.4.3 Забываем про все добавленное. Свойства построенной модели

9.1. Определения и первые примеры. ω-категоричность

Зафиксируем какую-то сигнатуру. Далее все формулы, теории и структуры будут в этой фиксированной сигнатуре.

Напомним, что если — теория (произвольное множество высказываний), а — высказывание, то (читается следует из ) означает, что истинно в любой модели . Обратите внимание, что значок мы используем и в ситуации, когда слева от него — структура (высказывание выполнено в этой структуре), и в ситуации, когда слева — множество формул. И в том и в другом случае, речь идет о том, что выполнена.

Определение 96. Теория выполнима, если у нее есть модель.
Выполнимая теория полна, если или для любого высказывания .

Конечно, в самых разных ситуациях нам интересна полная теория, то есть такая, которая, в принципе, не допускает «неясностей». При этом, конечно, некоторые теории, сразу строятся, как заведомо не полные, в частности допускающие множество моделей, в одних моделях выполнено какое-то высказывание, в других — его отрицание. Такое высказывание, естественно, не может следовать из теории.

Следующая задача дает очевидные примеры полных теорий.

Задача 164. полна для любой структуры .

Задача 165. Приведите пример не полной выполнимой теории.

Следующие задачи также совсем просты.

Задача 166. Почему любую выполнимую теорию можно расширить до полной?

Рассмотрим пример теории, образованной аксиомами частичного порядка. У этой теории есть разные модели, например, двухэлементное множество, элементы которого не сравнимы, или множество всех рациональных чисел с естественным порядком, или множество всех подмножеств действительных чисел с отношением включения. У каждой из этих структур есть своя теория. Все они полны и являются расширениями теории частичного порядка.

Задача 167. Выполнимая теория полна тогда и только тогда, когда две любые ее модели эквивалентны.

Задача 168. Пусть существует алгоритм, перечисляющий все элементы некоторой полной теории. Тогда существует алгоритм выяснения по высказыванию, следует ли оно из теории.

Понятие изоморфизма структур было дано в позапрошлой лекции — первой лекции по теории моделей.

Задача 169. Естественная идея: написать систему аксиом, все модели которой изоморфны. Возможно ли это для какой-то теории (системы аксиом)?

Мы снова возвращаемся к объявленной ранее договоренности, что мы рассматриваем только теории с равенством и нормальные модели.

Даже если моделей много, полнота теории гарантирует, что всякое высказывание будет или истинно в любой из них, или ложно в любой из них.

В силу теоремы Лёвенгейма — Сколема имеет смысл рассмотреть модели одной мощности. Мы ограничимся счётной мощностью.

Определение 97. ω-категоричной называется теория, все счётные модели которой изоморфны.

Связь между ω-категоричностью и полнотой устанавливает следующая задача.

Задача 170. Признак Лося — Воота. Выполнимая ω-категоричная теория с конечной или счётной сигнатурой, не имеющая конечных моделей, полна.

9.2. Исследование теорий и

Ранее мы определили две теории (системы аксиом): и .

Мы старались описать, по возможности, свойства (аксиомы для) конкретных счётных упорядоченных множеств — рациональных и натуральных чисел, из которых могли бы следовать все остальные свойства этих структур. Основным элементом сигнатуры при этом было имя < отношения порядка, среди моделей были, соответственно и .

Для каждой из этих теорий можно спросить:

1. Удалось ли нам описать интересующую нас структуру? То есть, верно ли, что все счётные структуры, удовлетворяющие этим свойствам, изоморфны? (Если ответ положительный, то, конечно, мы описали и все свойства структуры, как следствия аксиом.)

2. Если интересующую нас структуру описать не удалось, то, может быть, нам удалось описать с помощью аксиом все ее свойства, то есть, система аксиом полна?

Эти два вопроса для наших структур переформулируются в двух следующих вопросах:

1. Существуют ли у каждой из теорий , неизоморфные счётные модели?

2. Являются ли теории , полными?

9.3. Пример ω-категоричной теории

Переформулируем вопрос 1 о с использованием понятия ω-категоричности.

Задача 171. Будет ли ω-категоричной теория плотного порядка без наибольшего и наименьшего элемента?

Решив эту задачу, нам удалось прояснить ситуацию в случае теории .

Итак, эта теория оказалась ω-категоричной.

В силу признака Лося – Воота полна.

Восстановив доказательство, относящееся к теории , мы можем его использовать для доказательства следующего утверждения, которое нам еще понадобится.

Задача 172. Королларий. Любое счётное линейно упорядоченное множество можно изоморфно (взаимнооднозначно с сохранением порядка) вложить в естественно упорядоченное множество рациональных чисел.

Полученное отображение будет вложением всего множества S в рациональные числа.

Взаимнооднозначность отображения вытекает из того, что она имелась на каждом шаге.

Аналогично, отношение порядка сохранялось на всех шагах, а любая пара элементов, для которых мы хотим проверить сохранение отношения «меньше», имелась в образе или прообразе отображения уже на каком-то шаге.

9.4. Пример полной не ω-категоричной теории

Перейдем к рассмотрению теории Напомним, что сигнатура у нас состоит из имен для отношения < и для элемента 0. В теорию включены высказывания (аксиомы):

1. Линейный порядок.
2. Наибольшего нет, наименьший — .
3. У каждого есть следующий; у каждого, кроме нуля, есть предыдущий.

Ясно, что моделью этой теории являются натуральные числа с обычным отношением порядка и нулем в качестве наименьшего элемента. Бывают ли еще какие-то счётные модели у этой теории, можно былобы назвать их нестандартными? Или эта теория ω-категорична?

Задача 173. Укажите нестандартную модель .

Таким образом, теория не ω-категорична. Мы покажем, что она полна!

Итак, оставшаяся часть главы будет посвящена доказательству полноты .

Для того, чтобы эту полноту установить, нам придется рассмотреть все возможные модели этой теории и доказать их элементарную эквивалентность.

9.4.1. Строение моделей

Фиксируем на время произвольную модель M теории .

Задача 174. Докажите, что для всякого следующий элемент существует и единствен, а если , то предыдущий элемент существует и единствен.

Определение 98. Определим индукцией по для всякого элементы — сдвиги на :

• ;

• следующий элемент за ;

• предыдущий элемент перед , если он существует;

• при положим .

Задача 175. Докажите, что для всякого , если все целочисленные сдвиги этого элемента существуют, то множество сдвигов как упорядоченное множество изоморфно .

Пусть — элементы универсума модели теории . Будем говорить, что и близки, если множество элементов между ними (в смысле порядка на модели) конечно, то есть один из них получается из другого сдвигом. Конечно, в модели теории два любых элемента близки.

Задача 176. Близость является отношением эквивалентности.

Классы эквивалентности по отношению близости будем называть галактиками. Класс эквивалентности (галактику) элемента будем обозначать . Галактика элемента состоит из всех его сдвигов.

Задача 177. Как, с точки зрения порядка, «устроена» (чему изоморфна) галактика ? Как устроены все прочие галактики?

Задача 178. Определим порядок на галактиках: .

Действительно ли мы определили порядок? Будет ли порядок на галактиках линейным? Есть ли среди галактик наименьшая?

9.4.2. Строение Обогащение сигнатуры сложением, добавление бесконечного элемента; большая теория. Строение моделей; большая модель

Определение 99. Определим структуру . Смысл всех обозначений очевиден: в сигнатуру входят имена для всех натуральных чисел, обычного отношения порядка и трехместного отношения:

Как мы уже замечали в аналогичных ситуациях, через трехместное отношение суммы можно определять и произвольные линейные комбинации с рациональными коэффициентами, например:

Добавим в сигнатуру еще одно имя объекта — c.

Определение 99. Определим структуру . Смысл всех обозначений очевиден: в сигнатуру входят имена для всех натуральных чисел, обычного отношения порядка и трехместного отношения:

Задача 179. Будет ли большая теория выполнимой?

Определение 101. Выберем произвольную счётную модель сверхбольшой теории из предыдущей задачи и обозначим ее через . Назовем ее большой (нестандартной) моделью теории порядка и сложения натуральных чисел.

Задача 180. — модель теории . Отношение порядка задает на этой модели разбиение на галактики.

Задача 181. Пусть и лежат в разных галактиках и . Можно ли найти , для которого галактика лежит строго между и , то есть ?

Задача 182. Попробуйте ответить на вопросы, относящиеся к порядку галактик :
есть ли в этом порядке наибольший элемент?
есть ли в этом порядке наименьший элемент?
есть ли в этом порядке наименьший элемент, больший нуля?
будет ли этот порядок плотным?

Задача 183. Докажите, что все счётные структуры как упорядоченные множества (забудем про сложение) изоморфны структуре , то есть линейно упорядоченному множеству, где сначала идут натуральные числа, а потом счётное количество копий целых чисел, порядок между этими копиями устроен как рациональные числа.

Это соответствие очевидным образом продолжается до изоморфизма упорядоченных множеств: если элементу мы поставили в соответствие , то сдвигу , где — целое, мы ставим в соответствие .

Что будет если вернуть в структуру отношение сложения?

Задача 184. Д Попытайтесь найти две неизоморфные счётные модели сверхбольшой теории, то есть, «варианты» структуры , где в сигнатуре, по определению, есть сложение.

9.4.3. Забываем про все добавленное. Свойства построенной модели

Определение 102. Обозначим через структуру, получаемую из выбрасыванием из сигнатуры имени и всех имен объектов, кроме , то есть имен .

Как мы убедились выше, все возможные (для разных ) получаемые таким образом структуры изоморфны.

В остающейся части наших рассуждений мы будем иметь дело со структурой и установим ряд ее замечательных свойств, выделяя их подзаголовками.

Модель

Задача 185. Докажите, что — модель теории .

Задача 186. Может ли структура оказаться изоморфной ?

Автоморфизмы

Напомним определение:

Определение 103. Автоморфизм структуры — изоморфизм на себя, то есть преобразование (перестановка, взаимнооднозначное отображение на себя) универсума, сохраняющее значения всех элементов сигнатуры: имен объектов и отношений на всех элементах универсума.

Задача 187. Автоморфизм сохраняет значение формул, в том числе — высказываний. (Уточните, что это значит и докажите.)

Задача 188. Есть ли автоморфизмы у ? А у ?

Таким образом, у нашей нестандартной модели есть нетривиальные автоморфизмы; они нам еще понадобятся.

Универсальность

Следующее замечательное свойство — это некоторая универсальность этой структуры. Чтобы пояснить, что мы имеем в виду, введем еще одно определение.

Универсальность

Следующее замечательное свойство — это некоторая универсальность этой структуры. Чтобы пояснить, что мы имеем в виду, введем еще одно определение.

Определение 104. Подструктура модели теории называется правильной, если она содержит только галактики целиком.

Задача 189. Всякая счётная модель изоморфна правильной подструктуре в .

Таким образом, структура — универсальна в том смысле, что в нее вкладывается любая счётная модель теории . И, более того:

Задача 190. Структура является элементарным расширением любой своей правильной подструктуры.

Завершение доказательства полноты

Задача 191. Всякая модель элементарно эквивалентна .

Задача 192. Итак, теория :

• полна,
• у нее существуют неизоморфные счётные модели, то есть она не ω-категорична.

Восстановите всю структуру доказательства. В частности, зачем нам понадобилось добавлять плюс в сигнатуру, зачем нужно добавление бесконечно большого объекта? Почему в некоторых местах мы использовали теорию , а в некоторых — ?

Таким образом, мы доказали, что попытка описать системой аксиом математическую структуру (с точностью до изоморфизма) может заканчиваться неудачей даже для довольно простой ситуации, когда мы
описываем порядок натуральных чисел.

Напомним, что в случае порядка рациональных чисел — это не так: теория полна и ω-категорична.

Задача 193. Дополнительная.

Построить процедуру элиминации кванторов для структур ; . Атомные формулы могут использовать операции, то есть, мы расширяем сигнатуру, как это было в случае поля действительных чисел. Можно разрешать все уравнения и неравенства относительно одной неизвестной.