9.1. Определения и первые примеры. ω-категоричность

Зафиксируем какую-то сигнатуру. Далее все формулы, теории и структуры будут в этой фиксированной сигнатуре.

Напомним, что если Γ — теория (произвольное множество высказываний), а Φ — высказывание, то Γ ⊨ Φ (читается Φ следует из Γ) означает, что Φ истинно в любой модели Γ. Обратите внимание, что значок ⊨ Φ мы используем и в ситуации, когда слева от него — структура (высказывание Φ выполнено в этой
структуре), и в ситуации, когда слева — множество формул. И в том и в другом случае, речь идет о том, что Φ выполнена.

Конечно, в самых разных ситуациях нам интересна полная теория, то есть такая, которая, в принципе, не допускает «неясностей». При этом, конечно, некоторые теории, сразу строятся, как заведомо не полные, в частности допускающие множество моделей, в одних моделях выполнено какое-то высказывание, в других — его отрицание. Такое высказывание, естественно, не может следовать из теории.

Следующая задача дает очевидные примеры полных теорий.

Следующие задачи также совсем просты.

Понятие изоморфизма структур было дано в позапрошлой лекции — первой лекции по теории моделей.

Мы снова возвращаемся к объявленной ранее договоренности, что мы рассматриваем только теории с равенством и нормальные модели.

Даже если моделей много, полнота теории гарантирует, что всякое высказывание будет или истинно в любой из них, или ложно в любой из них.

В силу теоремы Левенгейма — Сколема имеет смысл рассмотреть модели одной мощности. Мы ограничимся счётной мощностью.

Связь между ω-категоричностью и полнотой устанавливает следующая задача.

9.2. Исследование теорий и

Ранее мы определили две теории (системы аксиом): и .

Мы старались описать, по возможности, свойства (аксиомы для) конкретных счётных упорядоченных множеств — рациональных и натуральных чисел, из которых могли бы следовать все остальные свойства этих структур. Основным элементом сигнатуры при этом было
имя < отношения порядка, среди моделей были, соответственно и .
Для каждой из этих теорий можно спросить:
1. Удалось ли нам описать интересующую нас структуру? То есть,
верно ли, что все счётные структуры, удовлетворяющие этим свой-
ствам, изоморфны? (Если ответ положительный, то, конечно, мы
описали и все свойства структуры, как следствия аксиом.)
2. Если интересующую нас структуру описать не удалось, то, может
быть, нам удалось описать с помощью аксиом все ее свойства, то
есть, система аксиом полна?
Эти два вопроса для наших структур переформулируются в двух
следующих вопросах:
1. Существуют ли у каждой из теорий ΓQ, ΓN неизоморфные
счётные модели?
2. Являются ли теории ΓQ, ΓN полными?

Замечание. В соо