Ступень 1 | Наивная теория множеств

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Ступень 1. Наивная теория множеств

Основными видами математической деятельности являются: вычисление, доказательство, определение. Математическая логика изучает математическую деятельность математическими средствами.

Основными понятиями будем считать множество и одноместное от-
ношение «быть элементом множества». Наше изложение будет использовать то, что используется в большинстве математических курсов — «Наивную теорию множеств». Мы обсудим вопрос о формализации теории множеств (и тем самым — большей части математики) в одной из последующих лекций. Там будет определена Аксиоматическая теория
множеств.

В трех следующих задачах считается, что найдется человек, который одновременно и математик, и шахматист.

Задача 1. У Старейший математик среди шахматистов и старейший шахматист среди математиков — это один или тот же человек или (возможно) разные?

Задача 2. У Лучший математик среди шахматистов и лучший шахматист среди математиков — это один или тот же человек или (возможно) разные?

Задача 3. Каждый десятый математик — шахматист, а каждый шестой шахматист — математик. Кого больше — математиков или шахматистов — и во сколько раз?

Определение 1. Цепочкой (или набором) элементов множества будем называть конечную последовательность элементов этого множества. (Понятие конечной последовательности можно более формально описать в аксиоматической теории множеств, но мы пользуемся интуитивно ясным понятием отображения конечного отрезка натурального ряда в какое-то множество.)
Набор будем обозначать ⟨a, b, c, d, ...⟩. Будем говорить, что две цепочки равны, если они имеют одинаковую длину и в них на одинаковых местах стоят одинаковые элементы. Среди цепочек есть пустая, не содержащая элементов, ее длина равна нулю.

Определение 2. Декартовым (прямым) произведением множеств A и B будем называть множество наборов длины два {⟨a, b⟩|a ∈ A, b ∈ B}. Двухместным (другими словами — бинарным) отношением будем называть подмножество прямого произведения двух множеств. Аналогично определяется одноместное и n-местное отношение, n — натуральное. Будем считать, что логические константы И и Л также являются отношениями — нульместными.

Поскольку мы уже определили отношение, как множество пар, то свойство «находиться в данном отношении» для нас — это свойство «принадлежать этому отношению». Иногда «отношение» и «свойство» считаются синонимами. Двухместным отношением на множестве будем называть подмножество прямого произведения двух копий данного множества. Бинарные отношения на множестве изображаются в виде ориентированных графов. В дальнейшем, если не оговорено противное, графы — ориентированные.
Имя двухместного отношения часто записывается между элементами пары. Запись aRb означает, что элементы (с именами) a и b находятся в отношении (с именем) R.
Поскольку мы уже определили отношение, как множество пар, то свойство «находиться в данном отношении» для нас — это свойство «принадлежать этому отношению». Иногда «отношение» и «свойство» считаются синонимами.

Задача 4. У Сформулируйте определение взаимно-однозначного соответствия (изоморфизма) между двумя множествами.

Определение 3. Множество будем называть счётным, если оно изоморфно натуральному ряду. (Позднее мы дадим определение натурального ряда в нашей наивной теории множеств.)

Иногда счетными множествами считают также и конечные — изоморфные начальному отрезку натурального ряда.

Задача 5. Счётно ли множество всех последовательностей нулей и единиц?

Определение 4. Будем называть отношение R на множестве X рефлексивным, если для любого x ∈ X выполнено xRx.

Определение 5. Будем называть отношение R на множестве X иррефлексивным, если для любого x ∈ X не верно, что xRx.

Определение 6. Будем называть отношение R на множестве X симметричным, если
для любых x, y ∈ X из xRy следует yRx.

Симметричные отношения изображаются неориентированными графами.

Определение 7. Будем называть отношение R на множестве X транзитивным, если для любых x, y, z ∈ X из xRy и yRz следует xRz.

Определение 8. Будем называть отношение R на непустом множестве X отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Определение 9. Будем называть отношение R на непустом множестве X отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Задача 6. Точно сформулируйте (дав необходимые определения) и докажите утверждение о том, что задание на множестве отношения эквивалентности равносильно заданию его разбиения на классы эквивалентности.

Разбиение множества — это система (множество) его непустых подмножеств, такая, что никакие два из них не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством.

Предположим, что на некотором множестве задано отношение эквивалентности. В дальнейших рассуждениях мы, разумеется, будем опираться на все свойства, перечисленные в определении эквивалентности.

Для произвольного элемента множества рассмотрим множество всех
элементов, которые находятся с ним в данном отношении (т.е. эквивалентны ему). Это множество мы назовем классом эквивалентности данного элемента.

Объединение всех таких классов совпадает со всем множеством, поскольку в силу рефлексивности каждый элемент принадлежит своему собственному классу.

Если классы двух элементов пересекаются (имеют хотя бы один общий элемент), то они полностью совпадают — это следует из свойств симметричности и транзитивности.

Тем самым совокупность классов эквивалентности образует разбиение исходного множества.

Обратно, пусть дано некоторое разбиение множества. Рассмотрим следующее отношение: два элемента связаны, если они принадлежат одному и тому же подмножеству (блоку) разбиения. Проверим, что это отношение удовлетворяет всем аксиомам эквивалентности:

1. Рефлексивность: каждый элемент, разумеется, лежит в одном и том же блоке с самим собой.

2. Симметричность: если элемент a находится в одном блоке с b, то и b находится в одном блоке с a.

3. Транзитивность: если a и b принадлежат одному блоку, а b и c — одному блоку, то все три элемента лежат в одном и том же блоке (поскольку блоки не пересекаются), а значит, a эквивалентен c.

Определение 10. Будем называть отношение R на множестве X отношением порядка, если оно иррефлексивно и транзитивно.
Множество, на котором задано отношение порядка, будем называть упорядоченным.
Отношение порядка часто читается «меньше» и обозначается <.

Определение 11. Будем говорить, что элементы x, y такого множества сравнимы, если выполнено x < y или y < x. Если любые два различных элемента упорядоченного множества сравнимы, то порядок называется линейным, а множество линейно упорядоченным.

Иногда, чтобы подчеркнуть, что наше множество не обязательно линейно упорядочено, произвольный порядок называют частичным, а множество – частично упорядоченным – чум.

На любом упорядоченном множестве можно задать отношение нестрогого порядка «меньше или равно»: x ≤ y титк x < y или x = y.

Чтобы подчеркнуть, что мы рассматриваем именно порядок, а не нестрогий порядок, порядок иногда называют строгим.

Определение 12. Пусть X — произвольное упорядоченное множество, а Y ⊆ X — некоторое его подмножество. Элемент x ∈ Y называют наименьшим в Y , если для любого элемента y ∈ Y выполнено x ≤ y .

Задача 7. У Придумайте определение наибольшего элемента подмножества.

Определение 13. Графом называется любая пара из множества и двухместного отношения на нем.

Наглядно граф представляется так: элементы множества называются вершинами и изображаются точками, пара элементов, находящихся в отношении, называется ребром, ребро изображается линией со стрелкой, идущей от первого элемента пары ко второму.

Симметричные отношения изображаются неориентированными графами – такими, где стрелки на ребрах отсутствуют.

Определение 14. Путем в графе ⟨S,R⟩ называется последовательность элементов множества S такая, что между каждым, кроме последнего, элементом и следующим имеется отношение R. Если последовательность конечная, мы говорим, что это путь из первого элемента в последний.

Определение 15. Дерево — это граф, в котором в одну вершину, называемую корнем, не ведет ребер, а в любую другую ведет ровно одно ребро и в любую вершину из корня ведет путь. Вершина, куда ведет ребро из данной, называется ее потомком.

Задача 8. (Лемма Кёнига) Правда ли, что в бесконечном дереве, где из каждой вершины выходит конечное число ребер, обязательно есть бесконечный путь?

Определение 16. Бинарное отношение F ⊆ A × B называется функцией из A в B (обозначение: f : A → B), если оно удовлетворяет двум условиям:

множество первых элементов этого отношения С.Ф: является подмножеством множества A; С.Ф: Нам в курсе потребуются и частичные функции
в F нет пар с одинаковыми первыми членами и разными вторыми.

Иными словами, С.Ф: некоторым a ∈ A сопоставляется ровно один b ∈ B, для которого ⟨a, b⟩ ∈ F.
Множество всех функций из A в B обозначается B^A.

Слова «отображение» и «функция» будем употреблять как синонимы. Множество всех первых элементов пар, образующих функцию, называется областью определения функции, множество вторых элементов этих пар называется областью (или множеством) значений функции.

Исторически со словом <<функция>> связывали некую интуитивно понимаемую «зависимость», «правило получения результата из аргумента», «машину, перерабатывающую вход в выход». В рамках этих представлений то, что мы называем функцией, называли «графиком функции».

Определение 17. Функция f : A → B называется инъективной, или инъекцией, или
вложением, если она переводит разные элементы в разные, то есть если f(a₁) ̸= f(a₂)
при неравных a₁ и a₂.

Определение 18. Функция f : A → B называется сюръективной, или сюръекцией, или наложением, если множество её значений есть всё B. (Иногда такие функции
называют отображениями на B).

Определение 19. Функция f : A → B называется биекцией, или взаимно однозначным соответствием, если она одновременно является инъекцией и сюръекцией.

Задача 9. (Теорема Кантора – Бернштейна) Если существует вложение A в B и вложение B в A, то существует биекция между A и B.

Попробуйте наглядно представить заданные вложения каждого из множеств в другое. Сами множества изобразим в виде двух вертикальных отрезков.

Левый отрезок – множество A покрасим в синий цвет, а правый – множество B — в зеленый. Два отображения, как обычно, изобразим в виде стрелок, идущих от синих точек к зеленым и от зеленых к синим; стоит их нарисовать. На экранах лекции есть рисунки, полезно их использовать.

Будем пытаться строить требуемое взаимно-однозначное соответствие также в виде множества стрелок. Его можно строить только из имеющихся стрелок, другого «строительного материала» у нас нет. Единственное, что мы будем делать по ходу — это некоторые стрелки заменять двухсторонними, а «лишние» стрелки убирать.

Наша цель состоит в том, чтобы все стрелки стали двухсторонними.

Начнем с того, что попробуем отнести к строящемуся соответствию все имеющиеся стрелки, идущие слева направо: из синих точек в зеленые. Конечно, мы не достигнем окончательного результата, поскольку в некоторые зеленые точки ничего не идет. Очевидный выход: стрелки, идущие ИЗ тех зеленых точек, куда ничего не идет, сделать двухсторонними и отнести к результату построения. Как мы уже сказали, другого «строительного материала» у нас нет.

Одновременно, нам придется лишиться стрелок, которые шли из тех синих точек, откуда (и куда) теперь идут двухсторонние стрелки. Таким образом, мы получаем новые зеленые точки, куда не идут стрелки, но идущие из них стрелки, конечно, остались, и можно надеяться, что это нас спасет, если продолжить процесс.

Первый шаг, который мы попытались сделать, представляет собой один шаг процесса, состоящего из счетного числа однотипных шагов. Опишем этот процесс:

инвариантное условие:
– имеются два вложения — слева направо и справа налево, из каждой синей и каждой зеленой точки выходит стрелка; некоторые стрелки — двухсторонние;

Действие состоит из двух шагов:
I. Делаем двухсторонними все стрелки, идущие из всех данных зеленых точек. Появляются множество синих точек, куда эти двусторонние стрелки идут.
II. Стрелки, ранее выходившие из точек этого синего множества, выбрасываем, зеленые точки, куда эти стрелки шли, образуют:

– новое множество зеленых точек, куда теперь стрелки не идут.

Сохранение инвариантного условия очевидно.

Заметим, что в ходе процесса множество двухсторонних стрелок не убывало.

К искомому соответствию отнесем:
– все двухсторонние стрелки, появившиеся на каком-то шаге, и
– все стрелки слева направо, где синяя точка не попала в двухстороннюю стрелку; для красоты можно эти стрелки заменить двухсторонними.

Докажем, что мы действительно построили взаимно-однозначное соответствие между синими и зелеными точками.
Все синие точки в нем участвуют по построению.
Рассмотрим любую зеленую точку:
– если она не участвовала в процессе, то она исходно была образом синей и таковой и осталась;
– если она участвовала в каком-то шаге процессе, то после этого шага в нее (и из нее) идет двухсторонняя стрелка и эта стрелка входит в соответствие.

Кроме того, ни в какой момент не появилось точки, из которой выходят, или куда входят две стрелки - инвариант сохранялся.
Доказательство закончено.

Если Вам не удалось осознать очерченную программу решения, попробуйте поступить более формально: введите обозначение для множеств, соответствий, обозначьте какими-нибудь буквами последовательные образы и т. д. Если и на этом пути не удастся построить решение, попытайтесь прочитать решение в каком-нибудь учебнике, например, у Верещагина и Шеня.

Заметим также, что Теорема Кантора -- Бернштейня, возможно встречалась вам в каком-то курсе уже раньше. Интересно, удалось ли вам восстановить ее доказательство, если вы не доказали ее когда-то сами.

Задача 10. Д Правда ли, что любые два множества сравнимы по мощности, то есть, что одно из них может быть вложено в другое?