Выясненная нами невозможность была обнаружена еще в древней Греции. Она называется парадоксом лжеца: «парадоксом» — потому что опровергает наше представление о том, что всякое высказывание должно быть истинным или ложным, а «лжеца» потому, что в традиционной формулировке указанная фраза произносится человеком — лжецом.

Парадокс лжеца, преобразованный в точное математическое утверждение о математике, составляет главное содержание одной из самых знаменитых теорем математики — Теоремы Гёделя о неполноте.

Приступая к ее формулированию и доказательству, мы введем дополнительные определения.

Напомним, что двоичная цепочка — это цепочка в двоичном алфавите .

В этой главе мы будем иметь дело со структурами, универсум которых — это множество всех двоичных цепочек.

В настоящей главе это не понадобится, но можно сразу зафиксировать для использования для кодов текстов множество цепочек, где ни одна цепочка не является началом другой.

Идея кодирования текстов натуральными числами и описания операций над текстами (цепочками), как операций над числами, выражаемых через операции арифметики — сложение и умножение, была важна в первые десятилетия XX века. Это называлось арифметизацией языка, с этой идеей мы встречаемся в работах Гильберта, Гёделя, Тарского и других.

Сведение к арифметике представлялось довольно важным для Гильберта. Он предлагал считать арифметику надежной частью математики. Далее, он предлагал определить в арифметике свойство «быть доказуемым в Теории множеств» и доказать, в некоторой формальной системе доказательства теорем арифметики, что:

1) в Теории множеств можно доказать или опровергнуть любое утверждение этой теории и

2) в Теории множеств нельзя доказать противоречивое утверждение, например, .

Сегодня двоичные цепочки важны сами по себе, как объекты, с которыми работает компьютер, которые передаются по линиям связи и т. д. Сведение операций над цепочками к арифметике уже не представляется важным. Но сам подход Гильберта в этом контексте выглядит вполне естественным.

Дальше мы, в основном, не будем говорить о кодах любых текстов, нам понадобятся, в первую очередь коды формул в той сигнатуре, которую мы постепенно описываем. Формулы, конечно, есть частные случаи математических текстов, а коды — некоторые двоичные цепочки.

В настоящей главе это не понадобится, но можно сразу зафиксировать для использования для кодов текстов множество цепочек, где ни одна цепочка не является началом другой.

Идея кодирования текстов натуральными числами и описания операций над текстами (цепочками), как операций над числами, выражаемых через операции арифметики — сложение и умножение, была важна в первые десятилетия XX века. Это называлось арифметизацией языка, с этой идеей мы встречаемся в работах Гильберта, Гёделя, Тарского и других.

Сведение к арифметике представлялось довольно важным для Гильберта. Он предлагал считать арифметику надежной частью математики. Далее, он предлагал определить в арифметике свойство «быть доказуемым в Теории множеств» и доказать, в некоторой формальной системе доказательства теорем арифметики, что:

1) в Теории множеств можно доказать или опровергнуть любое утверждение этой теории и

2) в Теории множеств нельзя доказать противоречивое утверждение, например, .

Сегодня двоичные цепочки важны сами по себе, как объекты, с которыми работает компьютер, которые передаются по линиям связи и т. д. Сведение операций над цепочками к арифметике уже не представляется важным. Но сам подход Гильберта в этом контексте выглядит вполне естественным.

Дальше мы, в основном, не будем говорить о кодах любых текстов, нам понадобятся, в первую очередь коды формул в той сигнатуре, которую мы постепенно описываем. Формулы, конечно, есть частные случаи математических текстов, а коды — некоторые двоичные цепочки. Естественно, элементы сигнатуры любой структуры — это тоже некоторые слова, предпринимаем специальные усилия, чтобы формулу можно было однозначно расшифровать и т. д.

Фиксируем конечный алфавит, содержащий все символы, которые могут использоваться в логике отношений произвольных структур. При этом можно для переменных использовать, например символ x, или тот же символ, за которым следует натуральной число, аналогично поступить с именами отношений и объектов, например, начиная эти имена с A и a. Также мы будем рассматривать и логические языки в которых есть имена для операций, в том числе — частичных.

Поэтому код всякой формулы определен, даже если мы еще не фиксировали сигнатуру, то есть количество имен отношений и объектов.

Для простоты изложения мы отклонимся теперь от нашего подхода избавления от операций в структурах, заменяя их отношениями.

Будем считать, что эта операция определима в структуре (например, что в сигнатуру входит имя описанной операции).

Примем, пока это не приведет нас к противоречию, следующее предположение.

Таким образом, для всякой одноместной формулы

(Код(())) ⇔ (), (2)

если имеет место наше Предположение относительно .

Пусть теперь

= ¬(Подст(, )). (3)

Конечно, — одноместная формула.

Таким образом, мы доказали, что истинность высказываний о нашей структуре не определима в структуре. Более точно:

Теорема Гёделя – Тарского о неопределимости истины
Не существует структуры, универсум которой состоит из всех двоичных цепочек и определимы:
(1) операция Подст(, ),
(2) свойство «быть кодом истинного в структуре высказывания».

Пусть значения имен нашей сигнатуры имеют описания в теории множеств. Например, в добавок к уже упомянутым отношениям, в сигнатуре могут быть имена для приписывания двоичных цепочек, для операций сложения и умножения, если рассматривать эти цепочки как записи натуральных чисел и т. д. В теории множеств, как она была определена выше, можно доказывать различные утверждения (высказывания), относящиеся к нашей структуре, то есть, говорящие о ее универсуме и отношениях сигнатуры, какими бы они не были.

Гильберт полагал, что обсуждаемое множество доказуемых формул можно определить в какой-то несложной и «надежной» структуре, например, для универсума натуральных чисел, с операциями (отношениями) сложения и умножения. Как показал Гёдель, это действительно так. Но можно использовать и более удобную сигнатуру.

В любом случае, Гильберт предлагал рассматривать структуры, в которых определимо свойство доказуемости для теории множеств, и уж, конечно, определима подстановка. Будем называть их достаточно богатыми.

Далее мы будем рассматривать более общее понятие доказуемости (породимости) для более общих исчислений.

При общем и естественном понятии доказуемости в исчислении доказуемость оказывается определимой в арифметике и других простых естественных структурах. Только такие структуры и предлагал рассматривать Гильберт в своей программе основания математики.

И доказуемость и истинность заведомо определимы в самой теории множеств.

Как мы только-что увидели для достаточно богатых структур,

Доказуемость не совпадает с истинностью.

Это Теорема Гёделя о неполноте в одной из ее формулировок.

Таким образом надежда (и убеждение) Гильберта о возможности доказательства всех истин не реализуется даже для простых структур, где универсум состоит из конечных объектов с понятными и простыми операциями.

12.1. Независимость дополнительных аксиом теории множеств

Выяснение принципиальной неполноты теории множеств оставляет открытым вопрос о разумной и полезной, притом, по возможности, не большой, «минимальной» системе аксиом для математики.

В частности, возникает вопрос о том, можно ли доказать аксиому выбора, исходя из других аксиом теории множеств? Или, исходя из наличия парадоксальных утверждений, доказываемых с использованием аксиомы выбора (пример такого утверждения мы рассматривали в связи с этой аксиомой), можно пытаться опровергнуть саму эту аксиому?

Ситуация здесь напоминает ситуацию с Пятым постулатом Геометрии Евклида, который долгие годы пытались доказать, а иногда — опровергнуть. В конце концов Николай Иванович Лобачевский доказал его независимость: из других аксиом геометрии нельзя ни доказать, ни опровергнуть его.

Аналогичная ситуация имеет место с Аксиомой выбора и Континуум-гипотезой.

Если теория множеств не противоречива, то она не станет противоречивой при добавлении к ней любой из четырех комбинаций Аксиомы выбора или ее отрицания, Континуум-гипотезы или ее отрицания.

12.2. Альтернативные основания математики

Ряд математиков не считали вопрос об основаниях математики удовлетворительно решенным и предлагали свои альтернативные решения.

Среди таких математиков: Петр Вопенка, Владимир Воеводский, Леонид Левин.

Наконец, можно несколько переформулировать мечту Гильберта о доказательстве непротиворечивости математики. Можно пытаться установить не существования противоречия, вывод которого будет проще, чем, например, Вселенная. Это может стать темой для будущих исследований.