Выясненная нами невозможность была обнаружена еще в древней Греции. Она называется парадоксом лжеца: «парадоксом» — потому что опровергает наше представление о том, что всякое высказывание должно быть истинным или ложным, а «лжеца» потому, что в традиционной формулировке указанная фраза произносится человеком — лжецом.

Парадокс лжеца, преобразованный в точное математическое утверждение о математике, составляет главное содержание одной из самых знаменитых теорем математики — Теоремы Гёделя о неполноте.

Приступая к ее формулированию и доказательству, мы введем дополнительные определения.

Напомним, что двоичная цепочка — это цепочка в двоичном алфавите .

В этой главе мы будем иметь дело со структурами, универсум которых — это множество всех двоичных цепочек.

В настоящей главе это не понадобится, но можно сразу зафиксиро-
вать для использования для кодов текстов множество цепочек, где ни
одна цепочка не является началом другой.

Идея кодирования текстов натуральными числами и описания опе-
раций над текстами (цепочками), как операций над числами, выражае-
мых через операции арифметики — сложение и умножение, была важна
в первые десятилетия XX века. Это называлось арифметизацией язы-
ка, с этой идеей мы встречаемся в работах Гильберта, Гёделя, Тарского
и других.

Сведение к арифметике представлялось довольно важным для Гиль-
берта. Он предлагал считать арифметику надежной частью матема-
тики. Далее, он предлагал определить в арифметике свойство «быть
доказуемым в Теории множеств» и доказать, в некоторой формальной
системе доказательства теорем арифметики, что:

1) в Теории множеств можно доказать или опровергнуть любое утвер-
ждение этой теории и

2) в Теории множеств нельзя доказать противоречивое утвержде-
ние, например, 0=1.

Сегодня двоичные цепочки важны сами по себе, как объекты, с ко-
торыми работает компьютер, которые передаются по линиям связи и
т. д. Сведение операций над цепочками к арифметике уже не представ-
ляется важным. Но сам подход Гильберта в этом контексте выглядит
вполне естественным.

Дальше мы, в основном, не будем говорить о кодах любых текстов,
нам понадобятся, в первую очередь коды формул в той сигнатуре, ко-
торую мы постепенно описываем. Формулы, конечно, есть частные слу-
чаи математических текстов, а коды — некоторые двоичные цепочки.

В настоящей главе это не понадобится, но можно сразу зафиксировать для использования для кодов текстов множество цепочек, где ни одна цепочка не является началом другой.

Идея кодирования текстов натуральными числами и описания операций над текстами (цепочками), как операций над числами, выражаемых через операции арифметики — сложение и умножение, была важна в первые десятилетия XX века. Это называлось арифметизацией языка, с этой идеей мы встречаемся в работах Гильберта, Гёделя, Тарского и других.

Сведение к арифметике представлялось довольно важным для Гильберта. Он предлагал считать арифметику надежной частью математики. Далее, он предлагал определить в арифметике свойство «быть доказуемым в Теории множеств» и доказать, в некоторой формальной системе доказательства теорем арифметики, что:

1) в Теории множеств можно доказать или опровергнуть любое утверждение этой теории и

2) в Теории множеств нельзя доказать противоречивое утверждение, например, .

Сегодня двоичные цепочки важны сами по себе, как объекты, с которыми работает компьютер, которые передаются по линиям связи и т. д. Сведение операций над цепочками к арифметике уже не представляется важным. Но сам подход Гильберта в этом контексте выглядит вполне естественным.

Дальше мы, в основном, не будем говорить о кодах любых текстов, нам понадобятся, в первую очередь коды формул в той сигнатуре, которую мы постепенно описываем. Формулы, конечно, есть частные случаи математических текстов, а коды — некоторые двоичные цепочки. Естественно, элементы сигнатуры любой структуры — это тоже некоторые слова, предпринимаем специальные усилия, чтобы формулу можно было однозначно расшифровать и т. д.

Фиксируем конечный алфавит, содержащий все символы, которые могут использоваться в логике отношений произвольных структур. При этом можно для переменных использовать, например символ x, или тот же символ, за которым следует натуральной число, аналогично поступить с именами отношений и объектов, например, начиная эти имена с A и a. Также мы будем рассматривать и логические языки в которых есть имена для операций, в том числе — частичных.

Поэтому код всякой формулы определен, даже если мы еще не фиксировали сигнатуру, то есть количество имен отношений и объектов.

Для простоты изложения мы отклонимся теперь от нашего подхода избавления от операций в структурах, заменяя их отношениями.

Будем считать, что эта операция определима в структуре (например, что в сигнатуру входит имя описанной операции).

Задача 234. Опишите операцию Подст используя более простые понятия операций с цепочками.

Задача 235. Пусть — одноместная формула. Найдите Подст(, Код()).

Примем, пока это не приведет нас к противоречию, следующее предположение.

Задача 236. Что является значением высказывания (Подст(, )), если — какая-то цепочка, а — код некоторой одноместной формулы ?

Таким образом, для всякой одноместной формулы

(Код(())) ⇔ (), (2)

если имеет место наше Предположение относительно .

Пусть теперь

= ¬(Подст(, )). (3)

Конечно, — одноместная формула.

Задача 237. Найдите значение (Код()).

Задача 238. Что означает полученная эквивалентность?

Таким образом, мы доказали, что истинность высказываний о нашей структуре не определима в структуре. Более точно:

Теорема Гёделя – Тарского о неопределимости истины.
Не существует структуры, универсум которой состоит из всех двоичных цепочек и определимы:
(1) операция Подст(, ),
(2) свойство «быть кодом истинного в структуре высказывания».

Задача 239. Что будет если в сигнатуре окажется еще имя отношения истинности?

Пусть значения имен нашей сигнатуры имеют описания в теории множеств. Например, в добавок к уже упомянутым отношениям, в сигнатуре могут быть имена для приписывания двоичных цепочек, для операций сложения и умножения, если рассматривать эти цепочки как записи натуральных чисел и т. д. В теории множеств, как она была определена выше, можно доказывать различные утверждения (высказывания), относящиеся к нашей структуре, то есть, говорящие о ее универсуме и отношениях сигнатуры, какими бы они не были.