Вот основные шаги доказательства:

• Рассмотрите универсальный алгоритм U , который моделирует любой способ описания.
• Сравните длину описания при произвольном способе с длиной подходящего описания для универсального алгоритма.

Подадим на вход универсального алгоритма цепочку , где — это код алгоритма , — это самое короткое описание объекта алгоритмом . Универсальный алгоритм выдаст .

Пусть — это длина кода алгоритма , где — это длина кода алгоритма . Тогда для сложности при способе выполнено



Неравенство здесь потому, что алгоритм может давать для и более короткие описания.

Очевидная идея — посчитать количество операций, в нашем случае — сложения и проверки равенства, которые мы должны сделать. Если идти дальше по этому пути, можно получить понятие, так называемой, алгебраической (или арифметической) сложности, где считается число операций.

Решение содержится в приведенных далее определениях.

Можно для каждого элемента цепочки проверить, можно ли из всех элементов, кроме него, составить некоторое одно меньшее, чем исходное , число.

Задача дополнительная, читатель вполне может ее решить самостоятельно.

Вот несколько соображений, которые могут помочь решить задачу:

• мы уже свели последовательность действий и ситуаций — процесс к цепочке состояний, которая является статичным объектом, а не процессом;
• цепочку состояний можно разместить в двухмерной матрице, преимущество в наглядности, в том, что у каждого символа соседями будут не только его соседи внутри состояния, но символы на том же месте в следующий и предыдущий моменты времени;
• размер получившейся таблицы будет ограничен полиномом от размера исходного данного;
• то, что таблица является таблицей вычисления, проверяется «локально» — если все кусочки небольшого размера, в нашем случае, размера 3, «правильные», то и таблица «правильная»;
• количество кусочков в таблице ограничено полиномом;
• каждый символ можно кодировать двоичной цепочкой одной и той же фиксированной длины; для каждой клетки в таблице можно ввести одно и то же количество имен нульместных отношений для каждого символа;
• тот факт, что имеется вычисление, заканчивающееся , можно теперь записать, как выполнимость формулы полиномиального размера; выполнимость будет означать и существование , и существование вычисления, конечно, однозначно определяемого .

Попробуем реализовать план из подсказки к задаче.

Пусть задана машина Тьюринга , задающая переборную задачу, то есть вычисляющая свойство пар двоичных цепочек за полиномиально ограниченное время.

Зафиксируем цепочку . Пусть ограничение на время — . Тогда переборная задача получает следующую формулировку: существуют ли такие и , что машина за шагов на исходном данном дает ответ . (1)

Работу машины, соответствующую этой формулировке, можно представить в виде следующей таблицы, элементами которой служат сим-
волы алфавита машины:

• строки таблицы — это состояния вычисления машины, расположенные последовательно, скажем, сверху вниз;
• первая (верхняя) строка таблицы — это цепочка , предваренная символом НАЧАЛО, затем идут пустые символы (здесь и дальше число этих символов может быть и нулевым);
• каждый переход к следующей строке осуществляется в соответствии с функцией перехода машины;
• число строк в таблице — , число столбцов — (здесь учтено, что длина исходного данного может быть вдвое больше, чем длина и что на каждом шаге длина объекта вычисления — цепочки — может увеличиваться не более, чем на ;
• последняя строка начинается с символа , за которой идет символ СТОП, все остальные символы — пустые.

Таким образом, то, что матрица фиксированного размера является матрицей вычисления нашей машины, может быть записано как конъюнкция высказываний, относящихся к стоящим в конкретных местах таблицы:

• отдельным символам (например, верхняя строка начинается с );
• парам символов (например, что за символом СТОП идут пустые);
• тройкам последовательных символов в какой-то строке таблице и символу в следующей строке, стоящему под средним символом тройки; этот символ должен получаться функцией перехода машины.

Размер каждого из высказываний ограничен числом, зависящим только от машины.

Количество этих высказываний оценивается полиномом (на самом деле, первой степени) от размера матрицы.

Таким образом, существование y, для которого оказывается эквивалентным существованию догадки y и существованию времени вычисления — числа — и заполнения таблицы размером на символами алфавита так, что в первой строке стоит , в последней СТОП и дальше пустые символы.

Это существование, в свою очередь, означает дизъюнкцию по упомянутых выше конъюнкций, где ограничено числом .

Как обычно, можно закодировать символы алфавита двоичными цепочками фиксированной длины. Перейдя от символов алфавита к их кодам, мы теперь видим, что наша переборная задача эквивалентна выполнимости высказывания полиномиального размера от длины .

Утверждение доказано.