Ступень 7 | Теория моделей. Определения и примеры

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Ступень 7. Теория моделей. Определения и примеры

7.1 Напоминание. Упорядоченные множества и их теории. Теории ΓQ, ΓN

7.2 «Одинаковость» структур. Изоморфизм. Эквивалентность

Логика отношений. Напоминание.

Σ — список имен объектов и имен отношений — сигнатура;
D — универсум (произвольное непустое множество);
M = ⟨D,Σ, Зн⟩ — структура.

Как мы помним, Зн — отображение, сопоставляющее каждому имени объекта — объект (элемент) из универсума, каждому имени отношения — отношение на универсуме.

Часто мы фиксируем сигнатуру Σ, а универсум D, значения Зн имен из этой сигнатуры могут меняться.

Определение 84. Цепочки элементов Векторные обозначения:
¯a — набор (цепочка) элементов a₁, . . . , a_k, λ — пустая цепочка, A∗ = {λ} ∪ A ∪ A2 ∪ . . .. Таким образом, A^∗ — это множество всех цепочек (наборов) элементов из A.

Пусть все свободные переменные формулы Φ взяты из списка x₁, . . . , x_k. Запись M ⊨ Φ(a₁, . . . , a_k) означает, что Φ истинна в M, в контекстах, то есть, последовательностях имен объектов, где значениями x₁, . . . , x_k являются a₁, . . . , a_k.

Если разобраться в предшествующем определении более детально, то нужно было бы сказать, что a₁, . . . , a_k — это имена, которые мы дали объектам (эти имена не имеют отношения к сигнатуре). При этом, в качестве значения каждого x_i при i = 1, ...k выбрано значение a_i. Ясно, что значение Φ не зависит от других элементов контекста. Однако, как это обычно бывает в математических текстах, мы здесь опускаем этап дачи нами имен объектам и говорим, что подставляем в формулу сами объекты.

Например, если M — это множество целых чисел, в сигнатуру входит имя R(x₁, x₂), значение которого — отношение «меньше», значением a₁ является число три, а значением a₂ является число шесть, то выполнено M ⊨ R(a₁, a₂). Но можно просто говорить, что мы подставляем в формулу числа 3 и 6.

Если Φ — высказывание, т. е. замкнутая (без свободных переменных) формула, то M ⊨ Φ означает, что формула Φ истинна в M.

7.1. Напоминание. Упорядоченные множества и их теории. Теории Γ_Q, Γ_N

Напомним, что бинарное отношением < на некотором множестве называется линейным порядком, если оно транзитивно и для любых x, y из этого множества выполнено ровно одно из утверждений: x < y, x = y, y < x (трихотомия).

Задача 137. Написать определение линейного порядка без наибольшего элемента.

Обозначения. Примеры моделей этой теории — обычно рассматриваемые числовые множества с порядком, обозначения: Q,R,N, Z. Как это обычно принято в математике, мы, «если это не вызывает недоразумения», будем опускать указание на сигнатуру: <. Если же сигнатура — иная, мы будем это отдельно отмечать, но использовать тот же шрифт для универсумов, например: ⟨N; +1⟩ будет обозначать структуру, универсум которой составляют натуральные числа, а сигнатура состоит из двухместного отношения y = x + 1.

Задача 138. Доказать, что все модели этой теории бесконечны.

Задача 139. Написать определение плотного линейного порядка без наибольшего и наименьшего элемента.

Задача 140. Привести примеры моделей теории Γ_Q.

Задача 141. Можно ли что-то добавить к нашей теории, чтобы отделить Q< от R<, т. е. чтобы первая структура была моделью, а вторая — нет?

Задача 142. Приведите примеры моделей этой теории.

7.2. «Одинаковость» структур. Изоморфизм. Эквивалентность

Изоморфизм множеств мы определяли как их равномощность.

Если же на множествах, как на универсумах, заданы какие-то отношения, то изоморфизм будет, во-первых, требовать одинаковости сигнатур, во-вторых, требовать «одинаковости» значений элементов сигнатур.

Определение 85. Пусть две структуры имеют одну общую сигнатуру. Взаимно однозначное отображение универсума одной структуры на универсум другой называется изоморфизмом структур, если при этом отображении значение каждого имени в одной структуре переходит в значение того же имени в другой.

С использованием математической символики это определение можно переписать следующим образом.

Пусть даны структуры M₁ = ⟨D1,_Σ, Зн₁⟩ и M₂ = ⟨D₂,Σ, Зн₂⟩.

Изоморфизм — это взаимно однозначное отображение ψ : D₁ → D₂, которое переводит каждый объект в D₁, имеющий имя a из Σ, в объект с тем же именем в D₂, то есть
ψ(Зн₁(a)) = Зн₂(a),
и для каждого имени отношения P ∈ Σ, каждого вектора объектов ¯v ∈ D^∗1, выполнено Зн₁(P)(¯v) ⇐⇒ Зн2(P)(ψ(¯v)).
Особую роль играют автоморфизмы структур (изоморфизмы структуры на себя) —подробнее автоморфизмы будут обсуждаться позже.

Определение 86. Автоморфизмом структуры называется изоморфизм структуры на себя.

Задача 143. Изоморфны ли структура положительных рациональных и структура всех рациональных чисел с порядком?

Задача 144. Изоморфны ли две любые счётные модели Γ_Q?

Да, изоморфны. Покажем что для ΓQ можно построить изоморфизм между любыми двумя счётными моделями.
Начнем с того, что перенумеруем всеми натуральными числами все элементы первой модели и все элементы второй модели.
Будем строить возрастающую последовательность изоморфизмов между конечными подструктурами моделей.

Первым в этой последовательности возьмем пустой изоморфизм.

Пусть уже построен изоморфизм ψ конечных упорядоченных подмножеств двух наших моделей.
Добавим к одному из этих подмножеств S первый (в нашей нумерации) еще не использованный элемент a универсума, где это подмножество лежит. Тогда можно добавить еще не использованный элемент b к подмножеству другой модели так, чтобы между полученными подмножествами имелся изоморфизм, продолжающий ψ. То, что это можно сделать, вытекает из требований Γ_Q, нужно рассмотреть случаи, когда a лежит между двумя соседними элементами подмножества S, когда он меньше наименьшего элемента в S, и когда больше наибольшего. В каждом из этих случаев имеется бесконечное количество элементов b, которые можно сопоставить с a с сохранением изоморфизма. Возьмем любой из них, например, первый по счету в нумерации.

Теперь возьмем первый еще не использованный элемент в другом подмножестве — том, где мы только что нашли b. Проделаем те же операции.

Проделав поочередно эти операции счётное число раз, мы получим возрастающую последовательность изоморфизмов. Возьмем их объединение.

Полученное отображение будет изоморфизмом множеств, поскольку каждый элемент каждого из двух множеств в какой-то момент появился.

Наше доказательство использовало несколько больших идей, применяющихся в разных местах нашего курса и математики. В частности, здесь рассматривалось объединение возрастающей последовательности; каждый элемент из объединения возник на конечном шаге и это обеспечивает некоторые его свойства и т. д.

Определение 87. Мы говорим, что две структуры с одной сигнатурой эквивалентны, если они имеют одну и ту же теорию.

В литературе вместо «эквивалентны» часто говорят «элементарно эквивалентны».

Задача 145. Почему изоморфные структуры эквивалентны?

Начнем с того, что установим взаимно однозначное соответствие между контекстами. Для этого вспомним, что у нас есть изоморфизм универсумов (как множеств). Исходя из этого изоморфизма получается изоморфизм контекстов: значения каждой переменной в двух контекстах просто соответствуют друг другу при изоморфизме. Значения имен объектов из сигнатуры также соответствуют друг другу.

Фиксируем теперь два соответствующих друг другу контекста и будем далее действовать индукцией по построению формулы.

Начнем с атомных формул. Входящие в такую формулу переменные и имена объектов соответствуют друг другу при изоморфизме, значит значение формулы в двух структурах и двух контекстах одно и то же.

Проверка сохранения для логических связок — стандартна. Конечно, она вытекает из того, что значение составной формулы известным образом определяется истинностью составляющих.

Значения формулы QxΦ с квантором Q использует множество контекстов, отличающихся от данного только на кванторной переменной x. Наш изоморфизм устанавливает изоморфное соответствие и между
такими контекстами. Используя для формулы Φ индуктивное предположение, получаем требуемое утверждение.

Если мы теперь из всех формул оставим только высказывания (а их истинность не зависит от контекста), то увидим, что множества истинных в двух структурах высказываний совпадают.

Естественно возникает вопрос:

Бывают ли эквивалентные неизоморфные структуры?

Мы попытаемся это выяснить в следующих лекциях.

f(x) ={	x + 2,	x ∈ Q ∩ [−1,+∞)
f(x) ={	−1/х	x ∈ Q ∩ (−∞,−1)